एक फलन y=f(x) जिसमें f(-1)=-249 है, का कोई अध | vedclass

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Question

(A) यह दिया गया है कि फलन $f(x)$ का $x=5$ पर $f(5)=75$ के साथ एक न्यूनतम मान है। यदि $f(x)$ अंतराल $[-1, 5]$ पर सतत होता, तो चरम मान प्रमेय (Extreme V

Vedclass · Accepted Answer

$(-1,5)$ में किसी बिंदु पर, $f(x)$ असतत (discontinuous) है

Vedclass · Answer

(A) यह दिया गया है कि फलन $f(x)$ का $x=5$ पर $f(5)=75$ के साथ एक न्यूनतम मान है। यदि $f(x)$ अंतराल $[-1, 5]$ पर सतत होता, तो चरम मान प्रमेय (Extreme Value Theorem) के अनुसार, इसे इस बंद अंतराल पर एक अधिकतम और एक न्यूनतम मान प्राप्त करना ही होता। चूंकि $f(-1) = -249$ और $f(5) = 75$ है, यदि फलन सतत होता, तो $(-1, 5)$ में कोई ऐसा $c$ मौजूद होता जहाँ $f(c)$ अधिकतम होता या फलन को $-249$ से $75$ तक बढ़ना पड़ता। हालाँकि, प्रश्न में कहा गया है कि फलन का कोई अधिकतम मान नहीं है और $x=5$ पर केवल एक न्यूनतम मान है। यदि $f(x)$ सतत होता, तो यह दी गई शर्तों का खंडन करता क्योंकि एक बंद अंतराल पर सतत फलन का अधिकतम मान होना अनिवार्य है। इसलिए, अधिकतम मान न होने के लिए $f(x)$ को अंतराल $(-1, 5)$ में किसी बिंदु पर असतत होना ही चाहिए।

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फलन $f(x) = [x]$,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,किस बिंदु पर सतत है?

यदि $f(x) = \begin{cases} |x - 3|, & x \geqslant 1 \\ \frac{x^2}{4} - \frac{3x}{2} + \frac{13}{4}, & x < 1 \end{cases}$ है,तो $f(x)$ है:

यदि $x \neq 0$ के लिए $f(x) = \frac{e^{2x} - (1 + 4x)^{1/2}}{\ln(1 - x^2)}$ है,तो $f$ के पास

यदि $f(x) = \begin{cases} [x] + [-x], & x \neq 2 \\ \lambda, & x = 2 \end{cases}$ बिंदु $x = 2$ पर सतत है,तो $\lambda = $ (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)।

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