$[i, k, j] + [k, j, i] + [j, k, i]$

यदि $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{c} = r\hat{i} + \hat{j} + (2r - 1)\hat{k}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल के समांतर है,तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए।

$(\hat{i} \times \hat{j}) \cdot [(\hat{j} \times \hat{k}) \times (\hat{k} \times \hat{i})]$

माना कि $\overrightarrow{a}=\hat{i}-2 \hat{j}$,$\overrightarrow{b}=2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\overrightarrow{c}=p\hat{i}+q \hat{j}$ और $\overrightarrow{d}=p \hat{j}-q \hat{k}$ चार सदिश हैं। यदि $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=3=(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{d}$ है,तो $3 p+q=$

अंतरिक्ष में चार बिंदुओं $A(1, -2, -1)$, $B(4, 0, -3)$, $C(1, 2, -1)$ और $D(2, -4, -5)$ पर विचार करें। यदि $\vec{b} = \vec{AB}$, $\vec{c} = \vec{AC}$ और $\vec{d} = \vec{AD}$ है, तो $\frac{[\vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{d}, \vec{d} \times \vec{b}]}{[\vec{b}+\vec{c}, \vec{c}+\vec{d}, \vec{d}+\vec{b}]}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\bar{a}+\bar{b}, \bar{b}+\bar{c}$ और $\bar{c}+\bar{a}$ एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के किनारे हैं,तो इसका आयतन $ . . . . . . $ है।