माना कि $\overrightarrow{a}=\hat{i}-2 \hat{j}$,$\overrightarrow{b}=2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\overrightarrow{c}=p\hat{i}+q \hat{j}$ और $\overrightarrow{d}=p \hat{j}-q \hat{k}$ चार सदिश हैं। यदि $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=3=(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{d}$ है,तो $3 p+q=$

$O \equiv (0,0,0)$, $A \equiv (2,-2,1)$, $B \equiv (5,-4,4)$ और $C \equiv (1,-2,4)$ शीर्षों वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन ज्ञात कीजिए।

यदि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $\overrightarrow{p}, \overrightarrow{q}, \overrightarrow{r}$ को $\overrightarrow{p}=\frac{\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}, \quad \overrightarrow{q}=\frac{\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}$ और $\overrightarrow{r}=\frac{\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}$ संबंधों द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{p}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{q}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{r}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक चतुष्फलक (tetrahedron) जिसकी भुजाएँ $\overline{a}+\overline{b}, \overline{b}+\overline{c}, \overline{c}+\overline{a}$ हैं,का आयतन $24$ घन इकाई है,तो उस समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन क्या होगा जिसकी भुजाएँ $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ हैं?

यदि $\bar{u}, \bar{v},$ और $\bar{w}$ तीन असमतलीय सदिश हैं,तो $(\bar{u} + \bar{v} - \bar{w}) \cdot (\bar{u} - \bar{v}) \times (\bar{v} - \bar{w}) = \dots$

यदि $a=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, b=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, c=\hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}$ है,तो $[(a \times b) \times(b \times c), (b \times c) \times(c \times a), (c \times a) \times(a \times b)] = $