यदि एक चतुष्फलक (tetrahedron) जिसकी भुजाएँ ov | vedclass

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Question

(C) भुजाओं $\overline{u}, \overline{v}, \overline{w}$ वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |[\overline{u} \overline{v} \overline{w}]|$ द्वारा दिया ज

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$72$ घन इकाई

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(C) भुजाओं $\overline{u}, \overline{v}, \overline{w}$ वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |[\overline{u} \overline{v} \overline{w}]|$ द्वारा दिया जाता है।दी गई भुजाएँ $\overline{a}+\overline{b}, \overline{b}+\overline{c}, \overline{c}+\overline{a}$ हैं।अतः,$24 = \frac{1}{6} |(\overline{a}+\overline{b}) \cdot ((\overline{b}+\overline{c}) 	imes (\overline{c}+\overline{a}))|$.$144 = |(\overline{a}+\overline{b}) \cdot (\overline{b} 	imes \overline{c} + \overline{b} 	imes \overline{a} + \overline{c} 	imes \overline{c} + \overline{c} 	imes \overline{a})|$.चूंकि $\overline{c} 	imes \overline{c} = 0$,इसलिए $144 = |(\overline{a}+\overline{b}) \cdot (\overline{b} 	imes \overline{c} + \overline{b} 	imes \overline{a} + \overline{c} 	imes \overline{a})|$.अदिश त्रिगुणन का विस्तार करने पर: $144 = |[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{a} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{a} \overline{c} \overline{a}] + [\overline{b} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{b} \overline{c} \overline{a}]|$.$[\overline{a} \overline{b} \overline{a}]$ जैसे पद $0$ हो जाते हैं क्योंकि दो सदिश समान हैं।अतः,$144 = |[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{c} \overline{a}]|$.चूंकि $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = [\overline{b} \overline{c} \overline{a}]$,हमें $144 = 2 |[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]|$ प्राप्त होता है।इसलिए,$|[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]| = 72$,जो समांतर षट्फलक का आयतन है।

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समांतर षट्फलक (parallelepiped) जिसके किनारे $\hat{i}+x \hat{j}+\hat{k}$,$\hat{j}+x \hat{k}$,और $x \hat{i}+\hat{k}$ हैं,के आयतन का अधिकतम और न्यूनतम मान क्रमशः क्या है?

यदि $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{c}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ है,तो $\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})=$ . . . . . . .

यदि $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{c} = \lambda\hat{i} + \hat{j} + (2\lambda - 1)\hat{k}$ समतलीय सदिश हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $a = i - k$, $b = xi + j + (1 - x)k$, और $c = yi + xj + (1 + x - y)k$ है। तो $[a\,b\,c]$ किस पर निर्भर करता है?

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