જો એક ચતુષ્ફલક કે જેની ધાર $\overline{a}+\overline{b}, \overline{b}+\overline{c}, \overline{c}+\overline{a}$ હોય તેનું ઘનફળ $24$ ઘન એકમ હોય,તો જે સમાંતરબાજુ ફલક (parallelepiped) ની ધાર $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ હોય તેનું ઘનફળ કેટલું થાય ($\text{ઘન એકમ}$ માં)?

ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ ના સ્થાન સદિશો $5\hat{i}+5\hat{j}+2\lambda\hat{k}$,$\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$,$-2\hat{i}+\lambda\hat{j}+4\hat{k}$ અને $-\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k}$ છે. ધારો કે ગણ $S = \{\lambda \in \mathbb{R} : \text{બિંદુઓ } A, B, C \text{ અને } D \text{ સમતલીય છે}\}$. તો $\sum_{\lambda \in S}(\lambda+2)^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \lambda\hat{j} + 4\hat{k}$,અને $\vec{c} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + (\lambda^2 - 1)\hat{k}$ એ સમતલીય સદિશો છે. તો શૂન્યતર સદિશ $\vec{a} \times \vec{c}$ શું થાય?

જો $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{c}=3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$ હોય,તો $\left|\begin{array}{lll}\vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{a} \cdot \vec{c} \\ \vec{b} \cdot \vec{a} & \vec{b} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{c} \\ \vec{c} \cdot \vec{a} & \vec{c} \cdot \vec{b} & \vec{c} \cdot \vec{c}\end{array}\right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો સદિશો $a$,$b$ અને $c$ સમતલીય હોય,તો $\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\ b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c\end{array}\right|$ ની કિંમત કેટલી થાય?

જો સદિશો $\hat{i} + \lambda \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{j} + \lambda \hat{k}$ અને $\lambda \hat{i} + \hat{k}$ દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ ન્યૂનતમ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.