int frac{3 sin x+5 cos x+4}{sin x+cos x+2} d | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{3 \sin x + 5 \cos x + 4}{\sin x + \cos x + 2} dx$. हम अंश को $A(\sin x + \cos x + 2) + B \frac{d}{dx}(\sin x + \cos x + 2) +

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$\log (\sin x+\cos x+2)+4 x-4 \sqrt{2} 	an ^{-1}\left(\frac{1+	an \frac{x}{2}}{\sqrt{2}}ight)+c$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int \frac{3 \sin x + 5 \cos x + 4}{\sin x + \cos x + 2} dx$. हम अंश को $A(\sin x + \cos x + 2) + B \frac{d}{dx}(\sin x + \cos x + 2) + C$ के रूप में व्यक्त करते हैं। $3 \sin x + 5 \cos x + 4 = A(\sin x + \cos x + 2) + B(\cos x - \sin x) + C$. गुणांकों की तुलना करने पर: $A - B = 3$ $A + B = 5$ $2A + C = 4$ इन्हें हल करने पर, हमें $2A = 8 \Rightarrow A = 4$, $B = 1$, और $C = 4 - 2(4) = -4$ प्राप्त होता है। अतः, $I = \int 4 dx + \int \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x + 2} dx - 4 \int \frac{dx}{\sin x + \cos x + 2}$. $I = 4x + \log|\sin x + \cos x + 2| - 4 \int \frac{dx}{\sin x + \cos x + 2}$. $	an(x/2) = t$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर, $dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$, $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$, $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$. $\int \frac{dx}{\sin x + \cos x + 2} = \int \frac{2 dt / (1+t^2)}{\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} + 2} = \int \frac{2 dt}{2t + 1 - t^2 + 2 + 2t^2} = \int \frac{2 dt}{t^2 + 2t + 3} = \int \frac{2 dt}{(t+1)^2 + 2}$. $= 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1}\left(\frac{t+1}{\sqrt{2}}ight) = \sqrt{2} 	an^{-1}\left(\frac{	an(x/2) + 1}{\sqrt{2}}ight)$. अतः, $I = 4x + \log|\sin x + \cos x + 2| - 4\sqrt{2} 	an^{-1}\left(\frac{	an(x/2) + 1}{\sqrt{2}}ight) + c$.

$\int \frac{3 \sin x+5 \cos x+4}{\sin x+\cos x+2} d x=$

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यदि $\int \sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{x}{1+x}}\right) d x=A(x) \tan ^{-1}(\sqrt{x})+B(x)+C$ है,जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है,तो क्रमित युग्म $(A(x), B(x))$ क्या हो सकता है?

$\int \frac{2x+5}{\sqrt{7-6x-x^2}} \, dx = A \sqrt{7-6x-x^2} + B \sin^{-1}\left(\frac{x+3}{4}\right) + c$ (जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है),तो $A+B$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int(3 x+2) \sqrt{2 x^2+3 x+4} d x=f(x) \sqrt{2 x^2+3 x+4}+A \sinh ^{-1}\left(\frac{4 x+3}{\sqrt{23}}\right)+C$ है, तो क्रमित युग्म $(f(1), A)=$

$\int \frac{d x}{(x+1)^{3 / 4}(x-2)^{5 / 4}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $\frac{1}{1-\tan x}$ का समाकलन कीजिए।

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