int frac{d x}{left(2 a x+x^2right)^{frac{3}{2 | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{dx}{(2ax+x^2)^{3/2}}$.हम समाकल के अंदर के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:$I = \int \frac{dx}{(x^2+2ax)^{3/2}} = \int \frac{

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$\frac{-1}{a^2} \frac{(x+a)}{\sqrt{2 a x+x^2}}+c$

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(A) माना $I = \int \frac{dx}{(2ax+x^2)^{3/2}}$.हम समाकल के अंदर के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:$I = \int \frac{dx}{(x^2+2ax)^{3/2}} = \int \frac{dx}{[x(x+2a)]^{3/2}} = \int \frac{dx}{x^{3/2}(x+2a)^{3/2}}$.वैकल्पिक रूप से, कोष्ठक के अंदर पूर्ण वर्ग बनाएं:$2ax+x^2 = (x+a)^2 - a^2$.माना $x+a = a \sec 	heta$, तब $dx = a \sec 	heta 	an 	heta d	heta$.साथ ही, $(x+a)^2 - a^2 = a^2 \sec^2 	heta - a^2 = a^2 	an^2 	heta$.इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int \frac{a \sec 	heta 	an 	heta d	heta}{(a^2 	an^2 	heta)^{3/2}} = \int \frac{a \sec 	heta 	an 	heta d	heta}{a^3 	an^3 	heta} = \frac{1}{a^2} \int \frac{\sec 	heta}{	an^2 	heta} d	heta$.$I = \frac{1}{a^2} \int \frac{1/\cos 	heta}{\sin^2 	heta / \cos^2 	heta} d	heta = \frac{1}{a^2} \int \frac{\cos 	heta}{\sin^2 	heta} d	heta$.माना $u = \sin 	heta$, तब $du = \cos 	heta d	heta$.$I = \frac{1}{a^2} \int u^{-2} du = \frac{1}{a^2} (-u^{-1}) + c = -\frac{1}{a^2 \sin 	heta} + c$.चूंकि $\sec 	heta = \frac{x+a}{a}$, इसलिए $\cos 	heta = \frac{a}{x+a}$.तब $\sin 	heta = \sqrt{1 - \cos^2 	heta} = \sqrt{1 - \frac{a^2}{(x+a)^2}} = \sqrt{\frac{(x+a)^2 - a^2}{(x+a)^2}} = \frac{\sqrt{x^2+2ax}}{x+a}$.अतः, $I = -\frac{1}{a^2} \cdot \frac{x+a}{\sqrt{x^2+2ax}} + c$.

$\int \frac{d x}{\left(2 a x+x^2\right)^{\frac{3}{2}}} = $

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$\int \frac{dx}{x^2(x^4 + 1)^{3/4}} = $

यदि $I_n = \int \frac{\sin nx}{\sin x} dx$ जहाँ $n = 1, 2, 3, \ldots$,तो $I_6 =$

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