int frac{sin x+8 cos x}{4 sin x+6 cos x} d x | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{\sin x+8 \cos x}{4 \sin x+6 \cos x} d x$.अंश को $A(	ext{हर}) + B(\frac{d}{dx}(	ext{हर}))$ के रूप में लिखने पर:$\sin x + 8 \

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$x+\frac{1}{2} \log |4 \sin x+6 \cos x|+c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{\sin x+8 \cos x}{4 \sin x+6 \cos x} d x$.अंश को $A(	ext{हर}) + B(\frac{d}{dx}(	ext{हर}))$ के रूप में लिखने पर:$\sin x + 8 \cos x = A(4 \sin x + 6 \cos x) + B(4 \cos x - 6 \sin x)$.$\sin x$ और $\cos x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:$1 = 4A - 6B$ और $8 = 6A + 4B$.इन समीकरणों को हल करने पर: पहले समीकरण को $2$ से और दूसरे को $3$ से गुणा करने पर:$2 = 8A - 12B$ और $24 = 18A + 12B$.दोनों को जोड़ने पर $26 = 26A$, अतः $A = 1$.$A = 1$ को $1 = 4(1) - 6B$ में रखने पर, $6B = 3$, अतः $B = \frac{1}{2}$.अतः, $I = \int \frac{(4 \sin x + 6 \cos x) + \frac{1}{2}(4 \cos x - 6 \sin x)}{4 \sin x + 6 \cos x} d x$.$I = \int 1 d x + \frac{1}{2} \int \frac{4 \cos x - 6 \sin x}{4 \sin x + 6 \cos x} d x$.$I = x + \frac{1}{2} \log |4 \sin x + 6 \cos x| + c$.

$\int \frac{\sin x+8 \cos x}{4 \sin x+6 \cos x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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