Pi_1, Pi_2, Pi_3 એ ત્રણ સમતલો છે જે અનુક્રમે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ છે. લંબચોરસ સમાંતરબાજુ ફલકના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0, 0)$, $A(a, 0, 0)$, $E(0, b, 0)$, $D(0, 0, c)$ વગેરે છે. $d_1$ એ $XY

Vedclass · Accepted Answer

$\cos ^{-1}\left(\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{a^2+c^2}}\right)$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ છે. લંબચોરસ સમાંતરબાજુ ફલકના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0, 0)$, $A(a, 0, 0)$, $E(0, b, 0)$, $D(0, 0, c)$ વગેરે છે. $d_1$ એ $XY$-સમતલની એવી બાજુનો વિકર્ણ છે જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો નથી. આ બાજુના શિરોબિંદુઓ $(0, 0, 0), (a, 0, 0), (0, b, 0), (a, b, 0)$ છે. ઉગમબિંદુમાંથી પસાર ન થતો વિકર્ણ એ $(a, 0, 0)$ અને $(0, b, 0)$ ને જોડતો રેખાખંડ છે, એટલે કે $AE$. $d_1$ ની દિશાનો સદિશ $\vec{v_1} = (0-a)\hat{i} + (b-0)\hat{j} + (0-0)\hat{k} = -a\hat{i} + b\hat{j}$ છે. $d_2$ એ સમતલ $\Pi_2$ (જે $b$ અંતરે $ZX$ સમતલને સમાંતર છે) નો વિકર્ણ છે જે $d_1$ સાથે સામાન્ય બિંદુ ધરાવે છે. સમતલ $\Pi_2$ માં બિંદુઓ $(0, b, 0), (a, b, 0), (0, b, c), (a, b, c)$ નો સમાવેશ થાય છે. $d_1$ (જે $A(a, 0, 0)$ થી શરૂ થાય છે) સાથે સામાન્ય બિંદુ ધરાવતો વિકર્ણ $AD$ છે, જ્યાં $D$ એ $(0, 0, c)$ છે. આપેલ આકૃતિ મુજબ, $d_1$ એ $AE$ છે અને $d_2$ એ $AD$ છે. સદિશ $\vec{AE} = (0-a)\hat{i} + (b-0)\hat{j} + (0-0)\hat{k} = -a\hat{i} + b\hat{j}$. સદિશ $\vec{AD} = (0-a)\hat{i} + (0-0)\hat{j} + (c-0)\hat{k} = -a\hat{i} + c\hat{k}$. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $	heta$ એ $\cos 	heta = \frac{\vec{AE} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AE}| |\vec{AD}|}$ દ્વારા મળે છે. $\vec{AE} \cdot \vec{AD} = (-a)(-a) + (b)(0) + (0)(c) = a^2$. $|\vec{AE}| = \sqrt{(-a)^2 + b^2} = \sqrt{a^2+b^2}$. $|\vec{AD}| = \sqrt{(-a)^2 + c^2} = \sqrt{a^2+c^2}$. આમ, $\cos 	heta = \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{a^2+c^2}}$. તેથી, $	heta = \cos ^{-1}\left(\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{a^2+c^2}}ight)$.

Similar Questions

$P(0,3,0)$,$Q(0,0,4)$ અને $R(0,3,4)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું અંતઃકેન્દ્ર શોધો.

જો એક રેખા ઘનના ચાર વિકર્ણો સાથે $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ ખૂણા બનાવે,તો $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma + \cos^2 \delta$ નું મૂલ્ય શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module