$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं। यदि रेखा $\vec{r}=\vec{a}+2 \vec{b}+p(\vec{a}-2 \vec{c})$ और समतल $\vec{r}=3 \vec{a}-q(\vec{c}-\vec{b})+k(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{r}=x \vec{a}+y \vec{b}+z \vec{c}$ है, तो $x y z=$

यदि रेखा $2(x + 1) = y = z + 4$ और समतल $2x - \sqrt{\lambda} z + 4 = 0$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{6}$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(2, 1, -1)$ से गुजरने वाले और समतलों $r \cdot (i + 3j - k) = 0$ तथा $r \cdot (j + 2k) = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

रेखा $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + p\hat{j} + \hat{k}) = 8$ के बीच का न्यून कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n} = 2\hat{i} + p\hat{j} + \hat{k}$ है। यदि $\theta = \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right)$ है, तो $p$ का/के मान है/हैं:

$(4, -1, 2)$ और $(-3, 2, 3)$ से गुजरने वाली रेखा समतल को $(-10, 5, 4)$ बिंदु पर समकोण पर मिलती है,तो समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि रेखाएँ $L_1 : \frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 2}{2k} = \frac{z - 3}{2}$ और $L_2 : \frac{x - 1}{3k} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z - 6}{-5}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं, तो $k$ के उस मान के लिए जो इस शर्त को संतुष्ट करता है, रेखा $L_1$ को समाहित करने वाले और रेखा $L_2$ के समानांतर समतल का समीकरण है