$L$ લંબાઈ અને $m$ દળ ધરાવતો એક પાતળો સળિયો $AB$ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છેડા $A$ ની આસપાસ ઉર્ધ્વ સમતલમાં મુક્તપણે ફરી શકે તે રીતે આડા રાખવામાં આવ્યો છે. જ્યારે સળિયો ઉર્ધ્વ સ્થિતિમાં લટકે છે ત્યારે તેની સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય લેવામાં આવે છે. સળિયાના છેડા $B$ ને આડી સ્થિતિમાંથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. જે ક્ષણે સળિયો સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે ત્યારે:

$5 \text{ g}$ દળ અને $4/3 \text{ cm}$ ત્રિજ્યા ધરાવતો એક પાતળો વર્તુળાકાર સિક્કો શરૂઆતમાં સમક્ષિતિજ $xy$-સમતલમાં છે. સિક્કાને તેના કેન્દ્રથી $r = 2/3 \text{ cm}$ અંતરે $J = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \times 10^{-2} \text{ N-s}$ નો આઘાત આપીને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ($+z$ દિશામાં) ઉછાળવામાં આવે છે. સિક્કો તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને ફરે છે અને $+z$ દિશામાં ગતિ કરે છે. જ્યારે સિક્કો તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછો ફરે છે,ત્યારે તે $n$ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે. $n$ નું મૂલ્ય શોધો. [આપેલ છે: ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \text{ m/s}^2$]

$M$ દળ,$a$ આંતરિક ત્રિજ્યા અને $b$ બાહ્ય ત્રિજ્યા ધરાવતી એક વલયાકાર તકતીને $\mu$ ઘર્ષણાંક ધરાવતી સમક્ષિતિજ સપાટી પર આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ મૂકવામાં આવી છે. કોઈ એક સમયે,તકતીના કેન્દ્રથી $h$ ઊંચાઈ પર $J_0 \hat{x}$ જેટલો આઘાત (impulse) લગાડવામાં આવે છે. જો $h=h_m$ હોય,તો તકતી $x$-અક્ષ પર સરક્યા વિના ગબડે છે. નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ $\mu \neq 0$ અને $a \rightarrow 0$ માટે,$h_m=b / 2$
$(B)$ $\mu \neq 0$ અને $a \rightarrow b$ માટે,$h_m=b$
$(C)$ $h=h_m$ માટે,પ્રારંભિક કોણીય વેગ આંતરિક ત્રિજ્યા $a$ પર આધાર રાખતો નથી.
$(D)$ $\mu=0$ અને $h=0$ માટે,પૈડું હંમેશા ગબડ્યા વિના સરકે છે.

$M$ દળના બ્લોકમાં આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ઘર્ષણરહિત સપાટી સાથેનો એક ગોળાકાર કાપ છે. આ બ્લોક એક સ્થિર ટેબલની આડી ઘર્ષણરહિત સપાટી પર રહેલો છે. શરૂઆતમાં,બ્લોકની જમણી ધાર ટેબલ સાથે જોડાયેલ યામ પદ્ધતિમાં $x=0$ પર છે. એક બિંદુવત દળ $m$ ને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ પથના સૌથી ઉપરના બિંદુએથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે અને તે નીચે સરકે છે. જ્યારે દળ બ્લોક સાથેનો સંપર્ક ગુમાવે છે,ત્યારે તેનું સ્થાન $x$ છે અને વેગ $v$ છે. તે ક્ષણે,નીચેનામાંથી કયો/કયા વિકલ્પ સાચો/સાચા છે?
$[A]$ બ્લોક $M$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાનાંતરનો $x$ ઘટક: $-\frac{m R}{M+m}$ છે.
$[B]$ બિંદુવત દળનું સ્થાન: $x=-\sqrt{2} \frac{mR}{M+m}$ છે.
$[C]$ બિંદુવત દળ $m$ નો વેગ: $v=\sqrt{\frac{2 g R}{1+\frac{m}{M}}}$ છે.
$[D]$ બ્લોક $M$ નો વેગ: $V=-\frac{m}{M} \sqrt{2 g R}$ છે.

એક કણ $L$ કોણીય વેગમાન સાથે નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે. જો કણની કોણીય આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે અને તેની ગતિ ઊર્જા અડધી કરવામાં આવે,તો તેનું નવું કોણીય વેગમાન શું થશે?

એક પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $3 \ kg \cdot m^2$ છે. તે $2 \ rad/s$ ના કોણીય વેગથી ભ્રમણ કરે છે. જો $12 \ kg$ દળ ધરાવતો પદાર્થ $v \ m/s$ ના વેગથી ગતિ કરતો હોય,તો $v$ ના કયા મૂલ્ય માટે તેમની ગતિઊર્જા સમાન થશે?