$5 \text{ kg}$ द्रव्यमान का एक ठोस गोला और $4 \text{ kg}$ द्रव्यमान की एक डिस्क की त्रिज्या समान है। गोले की उसकी स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण और डिस्क की उसके तल में स्थित स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $x : y$ है। $x$ और $y$ का मान क्रमशः क्या है?

$l$ लंबाई का एक पतला तार जिसकी रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\rho$ है, को चित्र में दिखाए अनुसार $C$ केंद्र वाले एक वृत्ताकार लूप में मोड़ा गया है। रेखा $AB$ के परितः लूप का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए।

दिए गए एकसमान वर्गाकार लैमिना $ABCD$ के लिए,जिसका केंद्र $O$ है,

$M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली एक पतली एकसमान छड़ का उसके मध्यबिंदु से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_0$ है। उसके एक सिरे से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः उसका जड़त्व आघूर्ण क्या होगा?

$(a)$ लंब अक्षों के प्रमेय को सिद्ध कीजिए। (संकेत: $x-y$ तल में एक बिंदु $(x, y)$ की मूल बिंदु से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष से दूरी का वर्ग $x^{2}+y^{2}$ है)
$(b)$ समांतर अक्षों के प्रमेय को सिद्ध कीजिए। (संकेत: यदि $n$ कणों के निकाय के द्रव्यमान केंद्र को मूल बिंदु माना जाए,तो $\sum m_{i} r_{i}=0$)

$X$ और $Z$ अक्ष एक डिस्क के तल में परस्पर लंबवत हैं और $Y$ अक्ष डिस्क के तल के लंबवत है। यदि वस्तु का $X$ और $Y$ अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्ण क्रमशः $30 \ kg \ m^2$ और $40 \ kg \ m^2$ है,तो $Z$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ....... $kg \ m^2$ होगा।