$\int \sqrt{1 + x^2} \, dx = $

यदि $\int \frac{1-(\cot x)^{2019}}{\tan x+(\cot x)^{2020}} dx = \frac{1}{n} \ln |(f(x))^n + (g(x))^n| + c$ है, तो $n[(f(x))^4 + (g(x))^4]_{x=\frac{\pi}{3}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$-1 < x, y < 1$ के लिए, यदि $\int \frac{x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} dx + \int \frac{y}{\sqrt{y+1}+\sqrt{y-1}} dy = A(1+x)^{3/2} + B(1-x)^{3/2} + f(y)(y+1)^{3/2} + g(y)(y-1)^{3/2} + C$ है, तो $A f(y) + B g(y) =$

$\int \frac{dx}{7+5 \cos x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{N}$ के लिए,यदि $\int \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} + \left( \frac{e}{x} \right)^{2x} \right) \log_{e} x \, dx = \frac{1}{\alpha} \left( \frac{x}{e} \right)^{\beta x} - \frac{1}{\gamma} \left( \frac{e}{x} \right)^{\delta x} + C$ है,जहाँ $e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$ और $C$ समाकलन स्थिरांक है,तो $\alpha + 2\beta + 3\gamma - 4\delta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{dx}{\sin^6 x + \cos^6 x} = $