int sin(log x) , dx = | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \sin(\log x) \, dx$. $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t \, dt$ प्राप्त होता है। अतः,$I = \int e^t \sin t \, d

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$\frac{1}{2}x[\sin(\log x) - \cos(\log x)] + C$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \sin(\log x) \, dx$. $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t \, dt$ प्राप्त होता है। अतः,$I = \int e^t \sin t \, dt$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$,जहाँ $u = \sin t$ और $dv = e^t \, dt$ लेने पर। तब $du = \cos t \, dt$ और $v = e^t$ प्राप्त होता है। $I = e^t \sin t - \int e^t \cos t \, dt$. पुनः $\int e^t \cos t \, dt$ के लिए खंडशः समाकलन करने पर: $I = e^t \sin t - [e^t \cos t - \int e^t (-\sin t) \, dt]$. $I = e^t \sin t - e^t \cos t - I$. $2I = e^t(\sin t - \cos t)$. $I = \frac{1}{2} e^t(\sin t - \cos t) + C$. $t = \log x$ और $e^t = x$ का मान रखने पर: $I = \frac{1}{2} x[\sin(\log x) - \cos(\log x)] + C$.

$\int \sin(\log x) \, dx = $

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