int frac{e^x}{(1 + e^x)(2 + e^x)} dx = | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{e^x}{(1 + e^x)(2 + e^x)} dx$. आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$\frac{e^x}{(1 + e^x)(2 + e^x)} = \frac{A}{1 + e^x} + \frac{B}{2

Vedclass · Accepted Answer

$\log \left( \frac{1 + e^x}{2 + e^x} \right) + c$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int \frac{e^x}{(1 + e^x)(2 + e^x)} dx$. आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$\frac{e^x}{(1 + e^x)(2 + e^x)} = \frac{A}{1 + e^x} + \frac{B}{2 + e^x}$. तब $e^x = A(2 + e^x) + B(1 + e^x)$. $e^x = -1$ रखने पर,$A = -1$ प्राप्त होता है। $e^x = -2$ रखने पर,$B = 1$ प्राप्त होता है। अतः,समाकलन $\int \left( \frac{1}{2 + e^x} - \frac{1}{1 + e^x} \right) e^x dx$ हो जाता है। माना $u = e^x$,तो $du = e^x dx$. समाकलन $\int \left( \frac{1}{2 + u} - \frac{1}{1 + u} \right) du = \log|2 + u| - \log|1 + u| + c = \log \left| \frac{2 + e^x}{1 + e^x} \right| + c$ है। नोट: दिया गया विकल्प $B$,$\log \left( \frac{1 + e^x}{2 + e^x} \right) + c$ है,जो $-\log \left| \frac{2 + e^x}{1 + e^x} \right| + c$ के बराबर है। चूँकि स्थिरांक $c$ स्वेच्छ है,परिणाम $\log \left| \frac{1 + e^x}{2 + e^x} \right| + c$ के समान है।

$\int \frac{e^x}{(1 + e^x)(2 + e^x)} dx = $

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