int frac{3sin x + 2cos x}{3cos x + 2sin x} , | vedclass

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Question

(A) समाकलन $I = \int \frac{3\sin x + 2\cos x}{3\cos x + 2\sin x} \, dx$ की गणना करने के लिए,अंश को हर और उसके अवकलज के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त

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$\frac{12}{13}x - \frac{5}{13}\log |3\cos x + 2\sin x| + C$

Vedclass · Answer

(A) समाकलन $I = \int \frac{3\sin x + 2\cos x}{3\cos x + 2\sin x} \, dx$ की गणना करने के लिए,अंश को हर और उसके अवकलज के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करें: $3\sin x + 2\cos x = A(3\cos x + 2\sin x) + B \frac{d}{dx}(3\cos x + 2\sin x)$ $3\sin x + 2\cos x = A(3\cos x + 2\sin x) + B(-3\sin x + 2\cos x)$ दोनों पक्षों पर $\sin x$ और $\cos x$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $\sin x$ के लिए: $3 = 2A - 3B$ $\cos x$ के लिए: $2 = 3A + 2B$ इन समीकरणों को हल करने पर: पहले समीकरण को $2$ से और दूसरे को $3$ से गुणा करने पर: $6 = 4A - 6B$ $6 = 9A + 6B$ दोनों को जोड़ने पर: $12 = 13A \implies A = \frac{12}{13}$ $A$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $3 = 2(\frac{12}{13}) - 3B \implies 3B = \frac{24}{13} - 3 = \frac{24 - 39}{13} = -\frac{15}{13} \implies B = -\frac{5}{13}$ अतः,समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int \left( \frac{12}{13} \frac{3\cos x + 2\sin x}{3\cos x + 2\sin x} - \frac{5}{13} \frac{-3\sin x + 2\cos x}{3\cos x + 2\sin x} \right) dx$ $I = \frac{12}{13} \int 1 \, dx - \frac{5}{13} \int \frac{d}{dx}(3\cos x + 2\sin x) \cdot \frac{1}{3\cos x + 2\sin x} \, dx$ $I = \frac{12}{13}x - \frac{5}{13} \log |3\cos x + 2\sin x| + C$

$\int \frac{3\sin x + 2\cos x}{3\cos x + 2\sin x} \, dx = $

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$\int \sqrt{x^2-8 x+7} \, dx = $ . . . . . . $+ C$.

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