int_0^pi x log(sin x) , dx = | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^\pi x \log(\sin x) \, dx$ ..... $(i)$ गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^\pi (\p

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$\frac{\pi^2}{2} \log(\frac{1}{2})$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_0^\pi x \log(\sin x) \, dx$ ..... $(i)$ गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^\pi (\pi - x) \log(\sin(\pi - x)) \, dx = \int_0^\pi (\pi - x) \log(\sin x) \, dx$ ..... $(ii)$ $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $2I = \int_0^\pi (x + \pi - x) \log(\sin x) \, dx = \pi \int_0^\pi \log(\sin x) \, dx$ गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो: $2I = 2\pi \int_0^{\pi/2} \log(\sin x) \, dx$ $I = \pi \int_0^{\pi/2} \log(\sin x) \, dx$ हम जानते हैं कि $\int_0^{\pi/2} \log(\sin x) \, dx = -\frac{\pi}{2} \log 2 = \frac{\pi}{2} \log(\frac{1}{2})$. अतः,$I = \pi \left( \frac{\pi}{2} \log(\frac{1}{2}) \right) = \frac{\pi^2}{2} \log(\frac{1}{2})$.

$\int_0^\pi x \log(\sin x) \, dx = $

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निश्चित समाकलन $\int_{2}^{4} (x(3 - x)(4 + x)(6 - x)(10 - x) + \sin x) dx$ का मान क्या है?

यदि $S_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$ और $n$ एक पूर्णांक है,तो $S_{n+1} - S_n =$

$\int\limits_{-1}^{1} \frac{x^4}{1 + e^{x^7}} dx = $

$\int_{-5}^{5} \left[ \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}} \right] dx = $

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1+\sin x \cos x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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