r त्रिज्या वाली एक पतली अर्ध-वृत्ताकार रिंग प | vedclass

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Question

(D) दिया गया है,रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = \frac{q}{\pi r}$ है।रिंग का एक छोटा अवयव लें जो केंद्र पर $d	heta$ कोण बनाता है। इस अवयव पर आवेश $dq = \l

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{q}{2{\pi ^2}{\varepsilon _0}{r^2}}\,\hat{j}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है,रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = \frac{q}{\pi r}$ है।रिंग का एक छोटा अवयव लें जो केंद्र पर $d	heta$ कोण बनाता है। इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda (r d	heta) = \frac{q}{\pi r} (r d	heta) = \frac{q}{\pi} d	heta$ है।इस अवयव के कारण केंद्र $O$ पर विद्युत क्षेत्र $dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q d	heta}{\pi r^2}$ है।समरूपता के कारण,विद्युत क्षेत्र के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं और ऊर्ध्वाधर घटक जुड़ जाते हैं।क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक $dE_y = dE \cos	heta$ ($-\hat{j}$ की दिशा में) है।$-\pi/2$ से $\pi/2$ तक समाकलन करने पर:$E = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q d	heta}{\pi r^2} \cos	heta (-\hat{j})$$E = -\frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} \hat{j} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos	heta d	heta$$E = -\frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} \hat{j} [\sin	heta]_{-\pi/2}^{\pi/2}$$E = -\frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} \hat{j} [1 - (-1)] = -\frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} \hat{j} (2) = -\frac{q}{2\pi^2\varepsilon_0 r^2} \hat{j}$.

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