यदि x, y, z समांतर श्रेणी में हैं और tan^{-1} | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $x, y, z$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2y = x + z$ है। साथ ही,$	an^{-1}x, 	an^{-1}y, 	an^{-1}z$ भी समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $

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$x = y = z$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $x, y, z$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2y = x + z$ है। साथ ही,$	an^{-1}x, 	an^{-1}y, 	an^{-1}z$ भी समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2	an^{-1}y = 	an^{-1}x + 	an^{-1}z$ है। सूत्र $	an^{-1}A + 	an^{-1}B = 	an^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}ight)$ का उपयोग करने पर,हमें $	an^{-1}\left(\frac{2y}{1-y^2}ight) = 	an^{-1}\left(\frac{x+z}{1-xz}ight)$ प्राप्त होता है। इसका अर्थ है $\frac{2y}{1-y^2} = \frac{x+z}{1-xz}$। चूंकि $x+z = 2y$,इसलिए $\frac{2y}{1-y^2} = \frac{2y}{1-xz}$। यह समीकरण तब सत्य है यदि $2y = 0$ या $1-y^2 = 1-xz$ हो। यदि $2y = 0$,तो $y = 0$,जिसका अर्थ है $x = -z$। यदि $1-y^2 = 1-xz$,तो $y^2 = xz$। चूंकि $x, y, z$ समांतर श्रेणी में हैं,$y^2 = xz$ का अर्थ है $x = y = z$। अतः,$x = y = z$ की स्थिति दी गई आवश्यकताओं को पूरा करती है।

यदि $x, y, z$ समांतर श्रेणी में हैं और $\tan^{-1}x, \tan^{-1}y, \tan^{-1}z$ भी समांतर श्रेणी में हैं,तो:

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$\pi + \left(\sin^{-1} \frac{4}{5} + \sin^{-1} \frac{5}{13} + \sin^{-1} \frac{16}{65}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $y = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) + \sec^{-1}\left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)$ है,तो $x = \sqrt{3}$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \tan^{-1} (\cot x - 2 \cot 2x)$,तो $\left[ \sum_{r = 1}^7 f(r) \right]$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)।

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