मान लीजिए $f(x) = \tan^{-1} (\cot x - 2 \cot 2x)$,तो $\left[ \sum_{r = 1}^7 f(r) \right]$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)।

समीकरण $\theta=\tan ^{-1}(2 \tan \theta)-\frac{1}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{6 \tan \theta}{9+\tan ^2 \theta}\right)$ के वास्तविक हलों की कुल संख्या क्या है? $($यहाँ,प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन $\sin ^{-1} x$ और $\tan ^{-1} x$ क्रमशः $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ और $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ में मान ग्रहण करते हैं.$)$

समीकरण $\operatorname{Tan}^{-1}\left(x+\frac{\sqrt{2}}{x}\right)+\operatorname{Tan}^{-1}\left(x-\frac{\sqrt{2}}{x}\right)=\operatorname{Tan}^{-1}(x)$ को संतुष्ट करने वाले $x$ के मानों की संख्या है:

यदि समीकरण $\sin^{-1}(x - 1) + \cos^{-1}(x - 3) + \tan^{-1}\left(\frac{x}{-x^2 + 2}\right) = m$ सत्य है,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।

$f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \cos(\tan^{-1}(\sin(\tan^{-1} x)))$ द्वारा परिभाषित करें। तो $\lim_{x \rightarrow \infty} (f \circ f)(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

किसी भी $y \in R$ के लिए,मान लीजिए $\cot ^{-1}(y) \in(0, \pi)$ और $\tan ^{-1}(y) \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ है। तब $0 < |y| < 3$ के लिए समीकरण $\tan ^{-1}\left(\frac{6 y}{9-y^2}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{9-y^2}{6 y}\right)=\frac{2 \pi}{3}$ के सभी हलों का योग किसके बराबर है?