समीकरण operatorname{Tan}^{-1}left(x+frac{sqrt | vedclass

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Question

(C) माना दिया गया समीकरण $\operatorname{Tan}^{-1}\left(x+\frac{\sqrt{2}}{x}\right)+\operatorname{Tan}^{-1}\left(x-\frac{\sqrt{2}}{x}\right)=\operatorn

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$2$

Vedclass · Answer

(C) माना दिया गया समीकरण $\operatorname{Tan}^{-1}\left(x+\frac{\sqrt{2}}{x}ight)+\operatorname{Tan}^{-1}\left(x-\frac{\sqrt{2}}{x}ight)=\operatorname{Tan}^{-1}(x)$ है।सूत्र $\operatorname{Tan}^{-1}(A) + \operatorname{Tan}^{-1}(B) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}ight)$ का उपयोग करने पर:$\operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x+\frac{\sqrt{2}}{x} + x-\frac{\sqrt{2}}{x}}{1-(x+\frac{\sqrt{2}}{x})(x-\frac{\sqrt{2}}{x})}ight) = \operatorname{Tan}^{-1}(x)$.$\operatorname{Tan}^{-1}$ फलन के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:$\frac{2x}{1-(x^2 - \frac{2}{x^2})} = x$.$\frac{2x}{1-x^2 + \frac{2}{x^2}} = x$.यह मानते हुए कि $x 
eq 0$, $x$ से विभाजित करने पर:$\frac{2}{1-x^2 + \frac{2}{x^2}} = 1$.$2 = 1 - x^2 + \frac{2}{x^2}$.$x^2 - \frac{2}{x^2} + 1 = 0$.माना $t = x^2$, तब $t - \frac{2}{t} + 1 = 0 \implies t^2 + t - 2 = 0$.$(t+2)(t-1) = 0$.चूंकि $t = x^2$, $t$ धनात्मक होना चाहिए, इसलिए $t = 1$, जिसका अर्थ है $x^2 = 1$, अर्थात $x = \pm 1$.अतः, $x$ के $2$ मान प्राप्त होते हैं।

समीकरण $\operatorname{Tan}^{-1}\left(x+\frac{\sqrt{2}}{x}\right)+\operatorname{Tan}^{-1}\left(x-\frac{\sqrt{2}}{x}\right)=\operatorname{Tan}^{-1}(x)$ को संतुष्ट करने वाले $x$ के मानों की संख्या है:

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$\cot ^{-1}\left(2 \cdot 1^{2}\right)+\cot ^{-1}\left(2 \cdot 2^{2}\right)+\cot ^{-1}\left(2 \cdot 3^{2}\right)+\ldots$ अनंत तक का मान ज्ञात कीजिए।

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