1 + (1 + a)x + (1 + a + a^2)x^2 + dots infty | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=0}^{\infty} (1 + a + a^2 + \dots + a^n)x^n$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $(1 + a + a^2 + \dots + a^n) = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{(1 - x)(1 - ax)}$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=0}^{\infty} (1 + a + a^2 + \dots + a^n)x^n$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $(1 + a + a^2 + \dots + a^n) = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a}$. આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા: $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a} x^n = \frac{1}{1 - a} \left[ \sum_{n=0}^{\infty} x^n - \sum_{n=0}^{\infty} a^{n+1} x^n \right]$. અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1 - r}$ નો ઉપયોગ કરતા: $S = \frac{1}{1 - a} \left[ \frac{1}{1 - x} - \frac{a}{1 - ax} \right]$. સાદુરૂપ આપતા: $S = \frac{1}{1 - a} \left[ \frac{1 - ax - a + ax}{(1 - x)(1 - ax)} \right] = \frac{1}{(1 - x)(1 - ax)}$.

$1 + (1 + a)x + (1 + a + a^2)x^2 + \dots \infty = \dots \, (0 < a, x < 1)$

Similar Questions

જો $n$ એ સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય કે જેથી $n+2n+3n+\ldots+99n$ એક પૂર્ણ વર્ગ હોય,તો $n^2$ ના અંકોની સંખ્યા કેટલી થાય?

$1 \times 3 \times 5, 3 \times 5 \times 7, 5 \times 7 \times 9, \dots$ શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સમાંતર મધ્યક કેટલો થાય?

$\frac{10001 \times 100 !}{2 \times 1 !+5 \times 2 !+10 \times 3 !+\ldots+10001 \times 100 !}=$

ધારો કે $a, b, c, d$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $\sum_{k=1}^n (a k^3+b k^2+c k+d)=n^4$ થાય. તો,$|a|+|b|+|c|+|d|$ ની કિંમત શોધો.

$2, 1\frac{3}{4}, 1\frac{5}{9}, \dots$ શ્રેણીનું છઠ્ઠું પદ કયું હશે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module