$9$ સ્ત્રીઓ અને $8$ પુરુષોમાંથી $12$ સભ્યોની સમિતિ એવી રીતે બનાવવાની છે કે જેમાં ઓછામાં ઓછી $5$ સ્ત્રીઓ હોય. સ્ત્રીઓ બહુમતીમાં હોય તેવી સમિતિ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા અને પુરુષો બહુમતીમાં હોય તેવી સમિતિ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા અનુક્રમે શોધો.

$17$ ખેલાડીઓમાંથી $11$ ખેલાડીઓની ક્રિકેટ ટીમ કેટલી રીતે પસંદ કરી શકાય,જેમાં માત્ર $5$ ખેલાડીઓ બોલિંગ કરી શકે છે અને દરેક $11$ ખેલાડીઓની ટીમમાં બરાબર $4$ બોલરો હોવા જોઈએ?

ત્રણ બોક્સ ધ્યાનમાં લો,જેમાં દરેક $10$ દડા છે જે $1, 2, \dots, 10$ તરીકે લેબલ થયેલ છે. ધારો કે દરેક બોક્સમાંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. $i^{th}$ બોક્સમાંથી પસંદ કરેલા દડાનું લેબલ $n_i$ તરીકે દર્શાવો,$(i = 1, 2, 3)$. તો,દડાઓને એવી રીતે પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે કે જેથી $n_1 < n_2 < n_3$ થાય?

રૂમમાં દરેક વ્યક્તિ અન્ય દરેક વ્યક્તિ સાથે હાથ મિલાવે છે. હાથ મિલાવવાની કુલ સંખ્યા $66$ છે. તો રૂમમાં કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા કેટલી હશે?

શિષ્યવૃત્તિ માટે,$2n+1$ ઉમેદવારોમાંથી વધુમાં વધુ $n$ ઉમેદવારો પસંદ કરી શકાય છે. જો શિષ્યવૃત્તિ માટે ઓછામાં ઓછા એક ઉમેદવારને પસંદ કરવાની વિવિધ રીતોની સંખ્યા $63$ હોય,તો શિષ્યવૃત્તિ માટે પસંદ કરી શકાય તેવા ઉમેદવારોની મહત્તમ સંખ્યા કેટલી છે -

એક વર્ગમાં દસ છોકરાઓ $B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{10}$ અને પાંચ છોકરીઓ $G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{5}$ છે. જો $B_{1}$ અને $B_{2}$ બંને એકસાથે જૂથના સભ્યો ન હોય,તો ત્રણ છોકરાઓ અને ત્રણ છોકરીઓનું જૂથ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?