$6$ लड़कों और $4$ लड़कियों में से $7$ व्यक्तियों का समूह कितनी तरह से बनाया जा सकता है ताकि लड़कों की संख्या बहुमत में हो?

$35$ सेबों को $3$ लड़कों के बीच इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक को कितनी भी संख्या में सेब मिल सकें।

कथन $I$: $10$ समान गेंदों को $4$ अलग-अलग बक्सों में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या कि कोई भी बक्सा खाली न रहे,${}^9C_3$ है।
कथन $II$: $9$ अलग-अलग स्थानों में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^9C_3$ है।

यदि ${}^n C_r$ $n$ वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को एक साथ लेने के संयोजनों की संख्या को दर्शाता है,तो व्यंजक ${}^n C_{r+1} + {}^n C_{r-1} + 2{}^n C_r$ किसके बराबर है?

$5$ भारतीयों,$5$ अमेरिकियों और $5$ ऑस्ट्रेलियाई लोगों में से $6$ सदस्यों की एक समिति बनाने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए,ताकि समिति में प्रत्येक देश से कम से कम एक सदस्य हो।

कथन-$1:$ $10$ समान गेंदों को $4$ अलग-अलग बक्सों में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या कि कोई भी बक्सा खाली न रहे,$^9C_3$ है।
कथन-$2:$ $9$ अलग-अलग स्थानों में से किन्हीं $3$ स्थानों को चुनने के तरीकों की संख्या $^9C_3$ है।