इकाई सदिश a, b, c समतलीय हैं। एक इकाई सदिश d | vedclass

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Question

(A) चूंकि $a, b, c$ समतलीय हैं,इसलिए $[a, b, c] = 0$ है। दिया गया है $(a 	imes b) 	imes (c 	imes d) = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k$।

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$\frac{i - 2j + 2k}{3}$

Vedclass · Answer

(A) चूंकि $a, b, c$ समतलीय हैं,इसलिए $[a, b, c] = 0$ है। दिया गया है $(a 	imes b) 	imes (c 	imes d) = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k$। सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र $(A 	imes B) 	imes C = (A \cdot C)B - (B \cdot C)A$ का उपयोग करने पर: $[(a 	imes b) \cdot d]c - [(a 	imes b) \cdot c]d = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k$। चूंकि $a, b, c$ समतलीय हैं,$[a, b, c] = (a 	imes b) \cdot c = 0$ है। अतः,$[(a 	imes b) \cdot d]c = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k$। $|a 	imes b| = |a||b| \sin 30^{\circ} = (1)(1)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$। माना $\hat{n}$ वह इकाई सदिश है जो $a$ और $b$ के तल के लंबवत है। तब $a 	imes b = \frac{1}{2} \hat{n}$। चूंकि $d$,$a, b, c$ के लंबवत है,$d$ को $\hat{n}$ के समानांतर होना चाहिए,इसलिए $d = \pm \hat{n}$। अतः $[(a 	imes b) \cdot d] = (\frac{1}{2} \hat{n}) \cdot (\pm \hat{n}) = \pm \frac{1}{2}$। इस प्रकार,$\pm \frac{1}{2} c = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k$। धनात्मक चिह्न लेने पर,$c = 2(\frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k) = \frac{1}{3}i - \frac{2}{3}j + \frac{2}{3}k = \frac{i - 2j + 2k}{3}$।

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