જો બિંદુઓ $D, E, F$ એ $\triangle ABC$ ની બાજુઓ $BC, CA, AB$ નું અનુક્રમે $1:4, 3:2, 3:7$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે અને બિંદુ $K$ એ $AB$ નું કોઈ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે,તો $(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF}) : \overrightarrow{CK} = ......$

ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં, બિંદુ $P$ એ $DC$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે અને $Q$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે. જો $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{DC}=k\overrightarrow{PQ}$ હોય, તો $k$ ની કિંમત શોધો.

$A, B, P, Q, R$ સમતલમાં આવેલા પાંચ બિંદુઓ છે. જો બિંદુ $A$ પર લાગતા બળો $\overline{AP}, \overline{AQ}, \overline{AR}$ અને બિંદુ $B$ પર લાગતા બળો $\overline{PB}, \overline{QB}, \overline{RB}$ હોય,તો આ બધા બળોનું પરિણામી બળ શોધો.

યાદી $I$ ને યાદી $II$ સાથે જોડો અને નીચે આપેલા કોડનો ઉપયોગ કરીને સાચો જવાબ પસંદ કરો:

યાદી $I$	યાદી $II$
$P$. સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ $2$ છે. તો સદિશો $2(\vec{a} \times \vec{b}), 3(\vec{b} \times \vec{c})$ અને $(\vec{c} \times \vec{a})$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ શોધો.	$1$. $100$
$Q$. સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ $5$ છે. તો સદિશો $3(\vec{a}+\vec{b}), (\vec{b}+\vec{c})$ અને $2(\vec{c}+\vec{a})$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ શોધો.	$2$. $30$
$R$. સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ દ્વારા નિર્ધારિત પાસપાસેની બાજુઓવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $20$ છે. તો સદિશો $(2\vec{a}+3\vec{b})$ અને $(\vec{a}-\vec{b})$ દ્વારા નિર્ધારિત પાસપાસેની બાજુઓવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.	$3$. $24$
$S$. સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ દ્વારા નિર્ધારિત પાસપાસેની બાજુઓવાળા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $30$ છે. તો સદિશો $(\vec{a}+\vec{b})$ અને $\vec{a}$ દ્વારા નિર્ધારિત પાસપાસેની બાજુઓવાળા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.	$4$. $60$

કોડ: $P \quad Q \quad R \quad S$

ધારો કે $\vec{w}=\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$,અને $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ બે સદિશો છે જેથી $\vec{u} \times \vec{v}=\vec{w}$ અને $\vec{v} \times \vec{w}=\vec{u}$. ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ અને $t$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $\vec{u}=\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+\gamma \hat{k}$,$-t \alpha+\beta+\gamma=0$,$\alpha-t \beta+\gamma=0$,અને $\alpha+\beta-t \gamma=0$. List-$I$ ની દરેક એન્ટ્રીને List-$II$ ની સાચી એન્ટ્રી સાથે જોડો અને સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.

List-$I$	List-$II$
$(P)$ $|\vec{v}|^2$ બરાબર છે	$(1)$ $0$
$(Q)$ જો $\alpha=\sqrt{3}$,તો $\gamma^2$ બરાબર છે	$(2)$ $1$
$(R)$ જો $\alpha=\sqrt{3}$,તો $(\beta+\gamma)^2$ બરાબર છે	$(3)$ $2$
$(S)$ જો $\alpha=\sqrt{2}$,તો $t+3$ બરાબર છે	$(4)$ $3$
	$(5)$ $5$

ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $a, b, c$ અને $d$ છે. તેની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?