शून्यतर सदिशों $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ के लिए,यदि $\bar{a} \times \bar{b} = \bar{c}$ और $\bar{b} \times \bar{c} = \bar{a}$ है,तो:

उस रेखा के दिक्-अनुपात ज्ञात कीजिए जो $-1, 2, 2$ और $0, 2, 1$ दिक्-अनुपात वाली रेखाओं पर लंब है।

मान लीजिए $O$ मूल बिंदु है,और $\overline{OX}, \overline{OY}, \overline{OZ}$ एक त्रिभुज $PQR$ की भुजाओं $QR, RP, PQ$ की दिशाओं में तीन इकाई सदिश हैं।
$(1)$ $|\overline{OX} \times \overline{OY}|$ ज्ञात कीजिए।
$[A] \sin(P+Q)$
$[B] \sin 2R$
$[C] \sin(P+R)$
$[D] \sin(Q+R)$
$(2)$ यदि त्रिभुज $PQR$ बदलता है,तो $\cos(P+Q) + \cos(Q+R) + \cos(R+P)$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
$[A] -\frac{5}{3}$
$[B] -\frac{3}{2}$
$[C] \frac{3}{2}$
$[D] \frac{5}{3}$
$(1)$ और $(2)$ के लिए सही विकल्प चुनें।

यदि $A, B, C, D$ अंतरिक्ष में चार बिंदु हैं,तो $|\overline{AB} \times \overline{CD} + \overline{BC} \times \overline{AD} + \overline{CA} \times \overline{BD}| = \lambda \times (\Delta ABC \text{ का क्षेत्रफल})$। तो $\lambda$ ज्ञात कीजिए।

यदि दो रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के दिक्-अनुपात क्रमशः $(1, -2, 2)$ और $(-2, 3, -6)$ दिए गए हैं,तो उस रेखा के दिक्-अनुपात क्या होंगे जो $L_1$ और $L_2$ के लंबवत है?

$A (2,6,2), B (-4,0, \lambda), C (2,3,-1)$ और $D (4,5,0)$,जहाँ $|\lambda| \leq 5$,एक चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्ष हैं। यदि इसका क्षेत्रफल $18$ वर्ग इकाई है,तो $5-6 \lambda$ का मान $.........$ है।