यदि सदिश $\vec{a} = \hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j} + a\hat{k}$,और $\vec{c} = a\hat{i} + \hat{k}$ दिए गए हैं,तो $a$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए इन तीन सदिशों द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम हो।

यदि $\bar{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\bar{b}=4\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$,और $\bar{c}=\hat{i}+\alpha\hat{j}+\beta\hat{k}$ रैखिक रूप से आश्रित सदिश हैं और $|\bar{c}|=\sqrt{3}$ है,तो $\alpha$ और $\beta$ के मान क्रमशः क्या हैं?

सदिशों $\vec{x}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$,$\vec{y}=2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{z}=3\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ पर विचार करें। दो भिन्न धनात्मक वास्तविक संख्याओं $\alpha$ और $\beta$ के लिए,$\vec{X}=\alpha\vec{x}+\beta\vec{y}-\vec{z}$,$\vec{Y}=\alpha\vec{y}+\beta\vec{z}-\vec{x}$,और $\vec{Z}=\alpha\vec{z}+\beta\vec{x}-\vec{y}$ को परिभाषित करें। यदि सदिश $\vec{X}, \vec{Y}$,और $\vec{Z}$ एक समतल में स्थित हैं,तो $\alpha+\beta-3$ का मान $....$ है।

यदि $\hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ और $\lambda \hat{i}+3 \hat{j}$ समतलीय हैं, तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\bar{u}, \bar{v},$ और $\bar{w}$ तीन असमतलीय सदिश हैं,तो $(\bar{u} + \bar{v} - \bar{w}) \cdot (\bar{u} - \bar{v}) \times (\bar{v} - \bar{w}) = \dots$

माना $\vec{c}$ इकाई सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के साथ समतलीय एक सदिश है और $\vec{d}$, $\vec{a}$, $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के लंबवत इकाई सदिश है। यदि $[\vec{a} \vec{b} \vec{d}] \vec{c} - [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{d} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के बीच का कोण $30^{\circ}$ है, तो $|\vec{c}| =$