ત્રિકોણ $ABC$ માટે,જો $\vec{AB} = 3\hat{i} + 4\hat{k}$ અને $\vec{AC} = 5\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ હોય,તો શિરોબિંદુ $A$ માંથી દોરેલી મધ્યગાની લંબાઈ શોધો.

$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ અસમરેખ સદિશો છે. જો $\bar{p} = (2x + 1)\bar{a} - \bar{b}$ અને $\bar{q} = (x - 2)\bar{a} + \bar{b}$ સમરેખ સદિશો હોય,તો $x =$

$XY$-સમતલમાં કોઈપણ બે બિંદુઓ $M$ અને $N$ માટે, $\overrightarrow{MN}$ એ $M$ થી $N$ સુધીનો સદિશ દર્શાવે છે, અને $\overrightarrow{0}$ એ શૂન્ય સદિશ દર્શાવે છે। ધારો કે $P, Q$ અને $R$ એ $XY$-સમતલમાં ત્રણ ભિન્ન બિંદુઓ છે। ધારો કે $S$ એ ત્રિકોણ $\triangle PQR$ ની અંદરનું એક એવું બિંદુ છે કે જેથી $\overrightarrow{SP} + 5\overrightarrow{SQ} + 6\overrightarrow{SR} = \overrightarrow{0}$ થાય। ધારો કે $E$ અને $F$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $PR$ અને $QR$ ના મધ્યબિંદુઓ છે। તો $\frac{\text{રેખાખંડ } EF \text{ ની લંબાઈ}}{\text{રેખાખંડ } ES \text{ ની લંબાઈ}}$ નું મૂલ્ય શોધો: ($.20$ માં)

ધારો કે $\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$, $a_1 \vec{i}+b_1 \vec{j}+c_1 \vec{k}$, $a_2 \vec{i}+b_2 \vec{j}+c_2 \vec{k}$, અને $a_3 \vec{i}+b_3 \vec{j}+c_3 \vec{k}$ એ અનુક્રમે બિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો છે. ત્રિકોણીય ફલક $BCD$ ના મધ્યકેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\frac{2}{3}(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k})$ છે. જો $\alpha \vec{i}+\beta \vec{j}+\gamma \vec{k}$ એ ચતુષ્ફલક $ABCD$ ના મધ્યકેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ હોય, તો $2 \alpha+\beta+\gamma$ ની કિંમત શોધો.

જો $M_1, M_2, M_3$ અને $M_4$ એ અનુક્રમે સદિશો $\vec{a}_1 = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{a}_2 = -3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$,$\vec{a}_3 = -\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,અને $\vec{a}_4 = -\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ ના માન (magnitudes) હોય,તો $M_1, M_2, M_3$ અને $M_4$ નો સાચો ક્રમ કયો છે?

જો $\vec{a}=-2 \hat{i}+9 \hat{j}-6 \hat{k}$ અને $\vec{b}=t \hat{i}-2 \hat{j}+6 \hat{k}$ એવા સદિશો હોય કે જેથી $|\vec{a}+\vec{b}|=25$ થાય,તો $t$ ની કિંમતોનો સરવાળો કેટલો થાય?