एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) जिसका किनार | vedclass

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Question

(A) समांतर षट्फलक का आयतन जिसके किनारे $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ हैं,अदिश त्रिक गुणन $|[\hat{a} \hat{b} \hat{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।आयतन का वर्ग

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$\frac{1}{\sqrt{2}}$

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(A) समांतर षट्फलक का आयतन जिसके किनारे $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ हैं,अदिश त्रिक गुणन $|[\hat{a} \hat{b} \hat{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।आयतन का वर्ग ग्राम मैट्रिक्स के सारणिक द्वारा दिया जाता है:$V^2 = \begin{vmatrix} \hat{a} \cdot \hat{a} & \hat{a} \cdot \hat{b} & \hat{a} \cdot \hat{c} \ \hat{b} \cdot \hat{a} & \hat{b} \cdot \hat{b} & \hat{b} \cdot \hat{c} \ \hat{c} \cdot \hat{a} & \hat{c} \cdot \hat{b} & \hat{c} \cdot \hat{c} \end{vmatrix}$चूंकि $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $\hat{a} \cdot \hat{a} = \hat{b} \cdot \hat{b} = \hat{c} \cdot \hat{c} = 1$ है। दिया गया है कि $\hat{a} \cdot \hat{b} = \hat{b} \cdot \hat{c} = \hat{c} \cdot \hat{a} = \frac{1}{2}$,अतः:$V^2 = \begin{vmatrix} 1 & 1/2 & 1/2 \ 1/2 & 1 & 1/2 \ 1/2 & 1/2 & 1 \end{vmatrix}$सारणिक की गणना करने पर:$V^2 = 1(1 - 1/4) - 1/2(1/2 - 1/4) + 1/2(1/4 - 1/2)$$V^2 = 1(3/4) - 1/2(1/4) + 1/2(-1/4) = 3/4 - 1/8 - 1/8 = 1/2$अतः,आयतन $V = \sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

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