यदि तीन स्वतंत्र घटनाओं के घटित होने की प्रायिकताएँ $p_1, p_2, p_3$ हैं,तो उनमें से कम से कम एक घटना के घटित होने की प्रायिकता क्या है?

$A$ और $B$ बारी-बारी से पासे का एक जोड़ा फेंकते हैं और वे पासे पर आने वाली संख्याओं का योग नोट करते हैं। यदि $A$,$B$ के $7$ फेंकने से पहले $6$ फेंकता है तो $A$ जीतता है,और यदि $B$,$A$ के $6$ फेंकने से पहले $7$ फेंकता है तो $B$ जीतता है। यदि $A$ शुरुआत करता है,तो $A$ के जीतने की प्रायिकता क्या है?

तीन घटनाओं $A, B$ और $C$ के लिए,$P(\text{केवल } A \text{ या } B \text{ घटित हो}) = P(\text{केवल } B \text{ या } C \text{ घटित हो}) = P(\text{केवल } C \text{ या } A \text{ घटित हो}) = \frac{1}{4}$ और $P(\text{तीनों घटनाएं एक साथ घटित हों}) = \frac{1}{16}$ है। तो कम से कम एक घटना के घटित होने की प्रायिकता क्या है?

$A$ और $B$ बारी-बारी से एक पासा फेंकते हैं जब तक कि उनमें से कोई एक '$6$' प्राप्त न कर ले और खेल जीत न जाए। यदि $A$ पहले शुरू करता है,तो उनकी जीतने की संबंधित प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

एक पात्र $A$ में $4$ सफेद और $1$ काली गेंद है; पात्र $B$ में $3$ सफेद और $2$ काली गेंदें हैं और पात्र $C$ में $2$ सफेद और $3$ काली गेंदें हैं। एक गेंद को $A$ से $B$ में यादृच्छिक रूप से स्थानांतरित किया जाता है; बाद में एक गेंद को $B$ से $C$ में यादृच्छिक रूप से स्थानांतरित किया जाता है। अंत में,यदि $C$ से एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है,तो इसके काली गेंद होने की प्रायिकता क्या है?

स्वतंत्र घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,$P(A \cup B) =$ . . . . . . .