रेखा vec{r} = (hat{i} + hat{j}) + lambda(hat{ | vedclass

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Question

(B) दी गई रेखाएँ $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$ और $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \mu(-\hat{i} + \hat{j} -

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$\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = 0$

Vedclass · Answer

(B) दी गई रेखाएँ $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$ और $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \mu(-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$ हैं।ये रेखाएँ बिंदु $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ से गुजरती हैं और सदिशों $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{c} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ के समांतर हैं।समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{b} 	imes \vec{c}$ द्वारा प्राप्त होता है।$\vec{n} = (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) 	imes (-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & 2 & -1 \ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = -3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$.हम अभिलंब सदिश के रूप में $\vec{n}' = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ ले सकते हैं ($-3$ से विभाजित करने पर)।समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n}' = 0$ है,जिसका अर्थ है $\vec{r} \cdot \vec{n}' = \vec{a} \cdot \vec{n}'$.$\vec{a} \cdot \vec{n}' = (\hat{i} + \hat{j}) \cdot (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = 1 - 1 + 0 = 0$.अतः,समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = 0$ है।

रेखा $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$ और $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \mu(-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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रेखा $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-3}{4}$ से गुजरने वाले और समतल $x+2y+z=12$ के लंबवत समतल का समीकरण $ax+by+cz+4=0$ द्वारा दिया गया है,तो:

यदि रेखा $\vec{r} = (\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) + \lambda (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$,समतल $\vec{r} \cdot (3\hat{i} - 2\hat{j} - m\hat{k}) = 14$ के समांतर है,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।

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