એક રેખા જેના દિક્કોસાઈનો સમાન છે તે બિંદુ $P(2, -1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને યામાક્ષો સાથે સમાન ખૂણો બનાવે છે. આ રેખા સમતલ $2x + y + z = 9$ ને બિંદુ $Q$ આગળ મળે છે. રેખાખંડ $PQ$ ની લંબાઈ શોધો.

વિધાન $(A)$: બિંદુ $(4, 4, 4)$ માંથી અને સમતલો $x + y + z = 6$ અને $2x + 3y + 4z = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $29x + 23y + 17z = 276$ છે.
કારણ $(R)$: સમતલો $P_1 = 0$ અને $P_2 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0, \lambda \in \mathbb{R}$ છે.

રેખાઓ $\frac{x - a + d}{\alpha - \delta} = \frac{y - a}{\alpha} = \frac{z - a - d}{\alpha + \delta}$ અને $\frac{x - b + c}{\beta - \gamma} = \frac{y - b}{\beta} = \frac{z - b - c}{\beta + \gamma}$ સમતલીય છે. જે સમતલમાં આ રેખાઓ આવેલી છે તેનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $L$ એ સમતલો $\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})=2$ અને $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=2$ ની છેદરેખા છે. જો $P(\alpha, \beta, \gamma)$ એ બિંદુ $(1,2,0)$ માંથી $L$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ હોય,તો $35(\alpha+\beta+\gamma)$ ની કિંમત શોધો:

રેખા $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ ને સમાવતા અને રેખાઓ $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{2}$ અને $\frac{x}{4} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

બિંદુ $(1, -2, 3)$ નું સમતલ $x - y + z = 5$ થી રેખા $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-6}$ ને સમાંતર માપેલું અંતર કેટલું છે?