ધારો કે L એ સમતલો vec{r} cdot(hat{i}-hat{j}+2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) સમતલોના સમીકરણો $P_{1}: x-y+2 z=2$ અને $P_{2}: 2 x+y-z=2$ છે.ધારો કે સમતલો $P_{1}$ અને $P_{2}$ ની છેદરેખા $xy$-સમતલને બિંદુ $Q$ માં છેદે છે.બંને સ

Vedclass · Accepted Answer

$119$

Vedclass · Answer

(B) સમતલોના સમીકરણો $P_{1}: x-y+2 z=2$ અને $P_{2}: 2 x+y-z=2$ છે.ધારો કે સમતલો $P_{1}$ અને $P_{2}$ ની છેદરેખા $xy$-સમતલને બિંદુ $Q$ માં છેદે છે.બંને સમીકરણોમાં $z=0$ મૂકતા,આપણને $x-y=2$ અને $2x+y=2$ મળે છે. આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$3x=4 \Rightarrow x=\frac{4}{3}$,અને $y=x-2 = \frac{4}{3}-2 = -\frac{2}{3}$.તેથી,$Q = (\frac{4}{3}, -\frac{2}{3}, 0)$.છેદરેખાનો દિશા સદિશ $\vec{a}$ એ લંબ સદિશો $\vec{n}_{1} = \hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ અને $\vec{n}_{2} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ નો સદિશ ગુણાકાર છે.$\vec{a} = \vec{n}_{1} 	imes \vec{n}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & -1 & 2 \ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-2) - \hat{j}(-1-4) + \hat{k}(1+2) = -\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}$.રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x-4/3}{-1} = \frac{y+2/3}{5} = \frac{z}{3} = \lambda$ છે.રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $F$ એ $(-\lambda + 4/3, 5\lambda - 2/3, 3\lambda)$ સ્વરૂપનું છે.ધારો કે $A = (1, 2, 0)$. સદિશ $\vec{AF} = (-\lambda + 4/3 - 1, 5\lambda - 2/3 - 2, 3\lambda - 0) = (-\lambda + 1/3, 5\lambda - 8/3, 3\lambda)$.કારણ કે $AF \perp L$,તેથી $\vec{AF} \cdot \vec{a} = 0$.$(-\lambda + 1/3)(-1) + (5\lambda - 8/3)(5) + (3\lambda)(3) = 0$.$\lambda - 1/3 + 25\lambda - 40/3 + 9\lambda = 0$.$35\lambda - 41/3 = 0 \Rightarrow 35\lambda = 41/3 \Rightarrow \lambda = 41/105$.લંબપાદ $P(\alpha, \beta, \gamma)$ ના યામ એ $F$ છે.$\alpha + \beta + \gamma = (-\lambda + 4/3) + (5\lambda - 2/3) + 3\lambda = 7\lambda + 2/3$.$35(\alpha + \beta + \gamma) = 35(7\lambda + 2/3) = 245\lambda + 70/3$.$\lambda = 41/105$ મૂકતા: $245(41/105) + 70/3 = (49 	imes 41)/21 + 70/3 = (7 	imes 41)/3 + 70/3 = 287/3 + 70/3 = 357/3 = 119$.

Similar Questions

સમતલો $x+y+z=1$ અને $2x+3y+4z=5$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા અને સમતલ $x-y+z=0$ ને લંબ હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

બિંદુ $(2,2,1)$ માંથી પસાર થતા અને સમતલો $x+2y-3z+1=0$ તથા $3x-2y+4z+3=0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

રેખા $\bar{r}=(\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ અને સમતલ $\bar{r} \cdot(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5$ વચ્ચેનો લઘુકોણ શોધો.

રેખા $\frac{x + 3}{3} = \frac{y - 2}{-2} = \frac{z + 1}{1}$ અને સમતલ $4x + 5y + 3z - 5 = 0$ એક બિંદુમાં છેદે છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module