वे रेखाएँ जिनकी दिक्कोज्याएँ (direction cosin | vedclass

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Question

(A) दिए गए समीकरण $al + bm + cn = 0$ और $fmn + gnl + hlm = 0$ हैं। प्रथम समीकरण से,$n = -\frac{al + bm}{c}$। $n$ का मान दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित

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$\frac{f}{a} + \frac{g}{b} + \frac{h}{c} = 0$

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(A) दिए गए समीकरण $al + bm + cn = 0$ और $fmn + gnl + hlm = 0$ हैं। प्रथम समीकरण से,$n = -\frac{al + bm}{c}$। $n$ का मान दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $fm(-\frac{al + bm}{c}) + gl(-\frac{al + bm}{c}) + hlm = 0$। $-c$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $fm(al + bm) + gl(al + bm) - chlm = 0$। विस्तार करने पर: $aflm + bfm^2 + agl^2 + bglm - chlm = 0$। $(l/m)$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $ag(\frac{l}{m})^2 + (af + bg - ch)(\frac{l}{m}) + bf = 0$। माना मूल $\frac{l_1}{m_1}$ और $\frac{l_2}{m_2}$ हैं। तब $\frac{l_1 l_2}{m_1 m_2} = \frac{bf}{ag}$,जिसका अर्थ है $\frac{l_1 l_2}{f/a} = \frac{m_1 m_2}{g/b}$। इसी प्रकार,$l$ और $m$ को विलुप्त करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{l_1 l_2}{f/a} = \frac{m_1 m_2}{g/b} = \frac{n_1 n_2}{h/c} = k$। रेखाओं के लंबवत होने के लिए,$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$ होना चाहिए। अनुपात प्रतिस्थापित करने पर: $k(\frac{f}{a} + \frac{g}{b} + \frac{h}{c}) = 0$। चूँकि $k 
eq 0$,इसलिए $\frac{f}{a} + \frac{g}{b} + \frac{h}{c} = 0$ होना चाहिए।

वे रेखाएँ जिनकी दिक्कोज्याएँ (direction cosines) समीकरणों $al + bm + cn = 0$ और $fmn + gnl + hlm = 0$ को संतुष्ट करती हैं,परस्पर लंबवत होंगी यदि:

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