$|x| + |y| = 1$ रेखा द्वारा निर्मित चतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या है?

यदि दीर्घवृत्त $4x^2 + 9y^2 = 36$ एक ऐसे अतिपरवलय के साथ समनाभी (confocal) है जिसकी अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2$ है,तो दीर्घवृत्त और अतिपरवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु किस वृत्त पर स्थित हैं?

माना एक रेखा $L: 2x + y = k, k > 0$ अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 3$ की स्पर्श रेखा है। यदि $L$ परवलय $y^2 = \alpha x$ की भी स्पर्श रेखा है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $e_1$ और $e_2$ क्रमशः दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{25} = 1$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की उत्केंद्रताएँ हैं। यदि $b < 5$ और $e_1 e_2 = 1$ है,तो उस दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता क्या होगी जिसके अक्ष निर्देशांक अक्षों के अनुदिश हैं और जो चारों नाभियों (दो दीर्घवृत्त की और दो अतिपरवलय की) से होकर गुजरता है?

मान लीजिए $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$,जहाँ $y_1 < 0$ और $y_2 < 0$,दीर्घवृत्त $x^2 + 4y^2 = 4$ के नाभिलंब के अंतिम बिंदु हैं। नाभिलंब $PQ$ वाले परवलयों के समीकरण क्या हैं?
$(A) x^2 + 2\sqrt{3}y = 3 + \sqrt{3}$
$(B) x^2 - 2\sqrt{3}y = 3 + \sqrt{3}$
$(C) x^2 + 2\sqrt{3}y = 3 - \sqrt{3}$
$(D) x^2 - 2\sqrt{3}y = 3 - \sqrt{3}$

उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभि $(-1, 1)$,उत्केंद्रता $1/2$ और नियता $x - y + 3 = 0$ है।