જો ઉગમબિંદુને $(1, -2)$ પર ખસેડવામાં આવે અને અક્ષને $30^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવે,તો $(1, 1)$ ના નવા યામ કયા હશે?

સમીકરણ $x^2+2xy-y^2=0$ માંથી $xy$ પદ દૂર કરવા માટે કોઓર્ડિનેટ અક્ષોને કેટલા ખૂણે ફેરવવા જોઈએ?

રેખા $L$ ના યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a$ અને $b$ છે. જ્યારે ઉગમબિંદુને સ્થિર રાખીને અક્ષોને એક નિશ્ચિત ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે તે જ રેખા $L$ ના અંતઃખંડો $p$ અને $q$ મળે છે,તો:

જ્યારે ઉગમબિંદુને $(h, k)$ બિંદુ પર સ્થળાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે સમીકરણ $S = 2x^2 - xy + y^2 + 2x + 3y + 1 = 0$ બદલાઈને $S' = ax^2 + 2hxy + by^2 + C' = 0$ થાય છે. જો ત્યારબાદ યામ અક્ષોને નવા ઉગમબિંદુની આસપાસ $\theta$ ખૂણે ધન દિશામાં ફેરવવામાં આવે જેથી $xy$ પદ દૂર થાય,તો સમીકરણ $S' = 0$ એ $Ax^2 + By^2 + C = 0$ બને છે. $h + k + \tan 2\theta$ ની કિંમત શોધો.

જ્યારે યામ અક્ષોને ધન દિશામાં $\frac{\pi}{4}$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે એક સમીકરણ $x^2+y^2-6x+8y+21=0$ માં રૂપાંતરિત થાય છે. તો મૂળ સમીકરણ શું હશે?

જ્યારે ઉગમબિંદુને અક્ષોના સ્થાનાંતર દ્વારા બિંદુ $P$ પર ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે સમીકરણ $2x^2+y^2-4x+4y=0$ એ $2x^2+y^2-8x+8y+18=0$ માં રૂપાંતરિત થાય છે. તો જો ઉગમબિંદુને તે જ બિંદુ $P$ પર ખસેડવામાં આવે,તો સુરેખા $x+2y+2=0$ નું રૂપાંતરિત સમીકરણ શું હશે?