બિંદુ $(3, 5)$ માંથી ઉપવલયો $3x^2 + 5y^2 = 32$ અને $25x^2 + 9y^2 = 450$ પર દોરી શકાય તેવા વાસ્તવિક સ્પર્શકોની સંખ્યા શોધો.

ધારો કે $E_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a > b$. ધારો કે $E_{2}$ એ બીજો ઉપવલય છે જે $E_{1}$ ની મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓને સ્પર્શે છે અને $E_{2}$ ના નાભિઓ એ $E_{1}$ ની ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓ છે. જો $E_{1}$ અને $E_{2}$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ સમાન હોય,તો $e$ નું મૂલ્ય શોધો:

જો $\alpha x+\beta y=109$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ ની જીવાનું સમીકરણ હોય,જેનું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}\right)$ હોય,તો $\alpha+\beta$ ની કિંમત શોધો.

જો $\beta$ એ ઉપવલય $x^2 + 3y^2 = 9$ ના બિંદુઓ $(3\cos \theta, \sqrt{3} \sin \theta)$ અને $(-3\sin \theta, \sqrt{3} \cos \theta)$ આગળના અભિલંબ વચ્ચેનો એક ખૂણો હોય,જ્યાં $\theta \in (0, \pi/2)$,તો $\frac{2 \cot \beta}{\sin 2\theta}$ ની કિંમત શોધો.

વિધાન $(A)$: જો ઉપવલય $9x^2 + 16y^2 = 144$ પરના બિંદુ $P(\frac{\pi}{3})$ આગળ દોરેલ સ્પર્શક અને અભિલંબ મુખ્ય અક્ષને અનુક્રમે $Q$ અને $R$ માં મળે,તો $QR = \frac{57}{8}$ થાય.
કારણ $(R)$: જો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બિંદુ $P(\theta)$ આગળ દોરેલ સ્પર્શક અને અભિલંબ મુખ્ય અક્ષને અનુક્રમે $Q$ અને $R$ માં મળે,તો $QR = \left| \frac{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}{a \cos \theta} \right|$ થાય.

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$ ને $- \frac{4}{3}$ ઢાળ ધરાવતો સ્પર્શક મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષોને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે,તો $\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ .................. $sq. \text{ units}$ થાય ($O$ એ ઉપવલયનું કેન્દ્ર છે).