જો $\alpha$ એ વક્રો $y = a^x$ અને $y = b^x$ વચ્ચેનો છેદખૂણો હોય,તો $\tan \alpha$ બરાબર શું થાય?

બે વિધેયો $f$ અને $g$ માટે $x = 0$ આગળ પ્રથમ અને દ્વિતીય વિકલિતો અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને નીચેના સંબંધોનું પાલન કરે છે: $f(0) = \frac{2}{g(0)}$,$f'(0) = 2g'(0) = 4g(0)$,$g''(0) = 5f''(0) = 6f(0) = 3$. તો:

$\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\int_2^{\sec ^2 x} f(t) d t}{x^2-\frac{\pi^2}{16}}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f$ એ અંતરાલ $(0, \infty)$ પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય છે,જ્યાં $f(x)=\ln x+\int_0^x \sqrt{1+\sin t} \, dt$. તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ $f^{\prime \prime}(x)$ એ તમામ $x \in(0, \infty)$ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે
$(B)$ $f^{\prime}(x)$ એ તમામ $x \in(0, \infty)$ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને $f^{\prime}$ એ $(0, \infty)$ પર સતત છે,પરંતુ $(0, \infty)$ પર વિકલનીય નથી
$(C)$ એવું $\alpha>1$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી તમામ $x \in(\alpha, \infty)$ માટે $|f^{\prime}(x)|<|f(x)|$ થાય
$(D)$ એવું $\beta>0$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી તમામ $x \in(0, \infty)$ માટે $|f(x)|+|f^{\prime}(x)| \leq \beta$ થાય

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{|x|}, & |x| \geqslant 1 \\ ax^2 + b, & |x| < 1 \end{cases}$ એ દરેક જગ્યાએ સતત અને વિકલનીય છે. તો $a$ અને $b$ શોધો.

વિધેયો $u = e^x \sin x$ અને $v = e^x \cos x$ નીચેનામાંથી કયા સમીકરણોનું પાલન કરે છે?