माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,निम्नलिखित में से कौन सा फलन अंतराल $[0, 1]$ पर शर्तों को संतुष्ट नहीं करता है?

माध्यमान प्रमेय $f(b) - f(a) = (b - a) f'(x_1)$ जहाँ $a < x_1 < b$ के लिए,यदि $f(x) = 1/x$ है,तो $x_1 = ?$

$f:[1,3] \rightarrow R$ एक फलन है जिसे $f(x)=x^3+a x^2+b x$ के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि $f(1)-f(3)=0$ और $f^{\prime}\left(\frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right)=0$ है, तो $a-b$ का मान ज्ञात कीजिए।

$m > 1, n > 1$ के लिए,वह मान $c$ जिसके लिए फलन $f(x) = x^{2m-1}(a-x)^{2n}$ के अंतराल $(0, a)$ में रोले का प्रमेय लागू होता है,है

समय $t$ पर एक चलती कार की स्थिति $f(t) = at^{2} + bt + c, t > 0$ द्वारा दी गई है,जहाँ $a, b$ और $c$ $1$ से बड़ी वास्तविक संख्याएँ हैं। तो समय अंतराल $[t_{1}, t_{2}]$ के दौरान कार की औसत गति किस बिंदु पर प्राप्त होती है?

मान लीजिए कि $f, g:[-1,2] \rightarrow R$ सतत फलन हैं जो अंतराल $(-1,2)$ पर दो बार अवकलनीय हैं। बिंदुओं $-1, 0$ और $2$ पर $f$ और $g$ के मान निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं:

$x$	$x=-1, 0, 2$
$f(x)$	$3, 6, 0$
$g(x)$	$0, 1, -1$

प्रत्येक अंतराल $(-1,0)$ और $(0,2)$ में फलन $(f-3g)^{\prime \prime}$ कभी शून्य नहीं होता है। तो सही कथन है(हैं):
$(A)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ के $(-1,0) \cup (0,2)$ में ठीक तीन हल हैं
$(B)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ का $(-1,0)$ में ठीक एक हल है
$(C)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ का $(0,2)$ में ठीक एक हल है
$(D)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ के $(-1,0)$ में ठीक दो हल और $(0,2)$ में ठीक दो हल हैं