माध्यमान प्रमेय f(b) - f(a) = (b - a) f'(x_1) | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{x}$.माध्यमान प्रमेय के अनुसार,$f'(x_1) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = -\frac{1}{x^

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$\sqrt{ab}$

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(A) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{x}$.माध्यमान प्रमेय के अनुसार,$f'(x_1) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.$x_1$ को अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर: $f'(x_1) = -\frac{1}{x_1^2}$.अब,समीकरण के दाईं ओर की गणना करें: $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\frac{1}{b} - \frac{1}{a}}{b - a} = \frac{\frac{a - b}{ab}}{b - a} = \frac{-(b - a)}{ab(b - a)} = -\frac{1}{ab}$.दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $-\frac{1}{x_1^2} = -\frac{1}{ab}$.अतः,$x_1^2 = ab$,जिसका अर्थ है $x_1 = \sqrt{ab}$ (क्योंकि $a  0$ माना गया है)।

माध्यमान प्रमेय $f(b) - f(a) = (b - a) f'(x_1)$ जहाँ $a < x_1 < b$ के लिए,यदि $f(x) = 1/x$ है,तो $x_1 = ?$

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यदि $2a + 3b + 6c = 0$ और $a, b, c \in \mathbb{R}$ है,तो समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का $0$ और $1$ के बीच कम से कम एक मूल है।

यदि $f: R \rightarrow R$ एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in R$ के लिए $f^{\prime \prime}(x) > 0$ है,और $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$,$f(1) = 1$ है,तो

मान लीजिए कि $f(x)$ और $g(x)$ दो फलन हैं जो सभी $x \ge x_0$ के लिए परिभाषित और अवकलनीय हैं। यदि $f(x_0) = g(x_0)$ और सभी $x > x_0$ के लिए $f'(x) > g'(x)$ है,तो:

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