यदि $f(x) = 2x - x^2$ के लिए,अंतराल $[0, 1]$ में लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem) संतुष्ट होता है,तो $c \in [0, 1]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $x \in [3, 12]$ के लिए $f(x) = \sqrt{x}$ और $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ है,तो $c \in (3, 12)$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} = \frac{f(12) - f(3)}{g(12) - g(3)}$ सत्य है।

मान लीजिए $f$ अंतराल $[0,2]$ पर एक सतत फलन है और $(0,2)$ पर दो बार अवकलनीय है। यदि $f(0)=0, f(1)=1$ और $f(2)=2$ है,तो

अंतराल $[1,3]$ में List-$I$ में दिए गए सभी फलनों पर विचार करें। List-$II$ में List-$I$ के फलनों पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ को लागू करके प्राप्त '$c$' के मान हैं। फलनों और '$c$' के मानों का मिलान करें।
(Table same as English)

अंतराल $(0, \pi/2)$ पर फलन $f(x) = e^{-2x} \sin 2x$ पर विचार करें। रोले के प्रमेय के अनुसार,एक वास्तविक संख्या $c \in (0, \pi/2)$ ऐसी है कि $f'(c) = 0$,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = ax^3 + bx^2 + 11x - 6, x \in [1, 3]$ रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है और $f'\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ है,तो $a$ और $b$ ज्ञात कीजिए।