यदि $x \in [3, 12]$ के लिए $f(x) = \sqrt{x}$ और $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ है,तो $c \in (3, 12)$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} = \frac{f(12) - f(3)}{g(12) - g(3)}$ सत्य है।

मान लीजिए कि $f$ सभी $x$ के लिए अवकलनीय है और सभी $x$ के लिए $f'(x) \le 2$ है। यदि $f(1) = 2$ और $f(4) = 8$ है,तो $f(2)$ का मान किसके बराबर है?

मान लीजिए $f(x) = \log(1 + x^2)$ और $A$ एक ऐसा स्थिरांक है कि सभी वास्तविक $x, y$ के लिए जहाँ $x \neq y$,$\frac{|f(x) - f(y)|}{|x - y|} \leq A$ है। तो,$A$ का न्यूनतम संभव मान है

अंतराल $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ पर परिभाषित फलन $f(x)=(x-1)(x-2)$ के लिए,लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय को संतुष्ट करने वाला $c$ का मान है

मान लीजिए कि सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x)=2+\cos x$ है।
$\text{कथन}-1$: प्रत्येक वास्तविक $t$ के लिए,$[t, t+\pi]$ में एक बिंदु $c$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(c)=0$ है। क्योंकि
$\text{कथन}-2$: प्रत्येक वास्तविक $t$ के लिए $f(t)=f(t+2\pi)$ है।

यदि फलन $f(x) = ax^2 + bx + \sin x$, अंतराल $[0, \pi]$ पर रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है और वक्र $y = f(x)$ की $x = \frac{\pi}{4}$ पर स्पर्श रेखा की ढाल शून्य है, तो $a - b = \dots$