જો $f(x) = 2x - x^2$ માટે,અંતરાલ $[0, 1]$ માં લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય (Lagrange's Mean Value Theorem) સંતોષાય છે,તો $c \in [0, 1]$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $S$ એ $[0,1]$ પર સતત અને $(0,1)$ પર વિકલનીય એવા તમામ વિધેયો $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ નો ગણ છે. તો $S$ માંના દરેક $f$ માટે,$f$ પર આધારિત એવો $c \in (0,1)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી:

જો $c = \frac{1}{2}$ અને $f(x) = 2x - x^2$ હોય,તો $x$ નો અંતરાલ $(a, b)$ જેમાં $f(x)$ માટે લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ લાગુ પડે છે તે કયો છે?

બધા $x > e$ માટે $\left[ \frac{\log (x/e)}{x - e} \right]$ ની કિંમત કેટલી થાય? (જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે.)

જો $f(x) = x(x-1)(x-2)$ માટે અંતરાલ $x \in [0, 1/2]$ પર $L.M.V.T.$ સત્ય હોય,તો $C$ ની કિંમત શોધો.

દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $2a + 3b + 6c = 0$ અને ધારો કે $g(x) = a\frac{x^3}{3} + b\frac{x^2}{2} + cx.$
વિધાન $1:$ દ્વિઘાત સમીકરણને અંતરાલ $(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે.
વિધાન $2:$ રોલનું પ્રમેય અંતરાલ $[0, 1]$ પર વિધેય $g(x)$ માટે લાગુ પડે છે.