જો $c = \frac{1}{2}$ અને $f(x) = 2x - x^2$ હોય,તો $x$ નો અંતરાલ $(a, b)$ જેમાં $f(x)$ માટે લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ લાગુ પડે છે તે કયો છે?

વિધેય $f(x) = e^{-2x} \sin 2x$ ને અંતરાલ $(0, \pi/2)$ પર ધ્યાનમાં લો. રોલના પ્રમેય મુજબ,એક વાસ્તવિક સંખ્યા $c \in (0, \pi/2)$ એવી મળે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય,તો $c$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x)$ એ $[0, 5]$ પર સતત છે અને $(0, 5)$ પર વિકલનીય છે. જો $f(0) = 0$ અને $(0, 5)$ માં તમામ $x$ માટે $|f^{\prime}(x)| \leq \frac{1}{5}$ હોય, તો $[0, 5]$ માં તમામ $x$ માટે નીચેનામાંથી શું સાચું છે?

તપાસો કે શું રોલનું પ્રમેય નીચેના વિધેય માટે લાગુ પડે છે. શું તમે આ ઉદાહરણ પરથી રોલના પ્રમેયના પ્રતિપ વિધાન વિશે કંઈ કહી શકો?
$f(x) = [x]$,જ્યાં $x \in [-2, 2]$

જો $f$ એ $[1,3]$ માં $f(x)=x^3+b x^2+a x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,જેથી $f(1)-f(3)=0$ અને $f^{\prime}(c)=0$,જ્યાં $c=2+\frac{1}{\sqrt{3}}$,તો $(a, b)$ બરાબર શું થાય?

ધારો કે $f$ એ તમામ $x$ માટે વિકલનીય છે. જો $f(1) = -2$ અને $x \in [1, 6]$ માટે $f'(x) \ge 2$ હોય,તો