ધારો કે f(x) એ [0, 5] પર સતત છે અને (0, 5) પર | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ, કોઈપણ $x \in (0, 5]$ માટે, એક એવો $c \in (0, x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime}(c) = \frac{f(x)

Vedclass · Accepted Answer

$|f(x)| \leq 1$

Vedclass · Answer

(A) મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ, કોઈપણ $x \in (0, 5]$ માટે, એક એવો $c \in (0, x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime}(c) = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ થાય.આપેલ છે કે $f(0) = 0$, તેથી $f^{\prime}(c) = \frac{f(x)}{x}$ મળે.માનાંક લેતા, $|f^{\prime}(c)| = \left|\frac{f(x)}{x}\right| = \frac{|f(x)|}{|x|}$ થાય.કારણ કે $(0, 5)$ માં તમામ $x$ માટે $|f^{\prime}(x)| \leq \frac{1}{5}$ છે, તેથી $|f^{\prime}(c)| \leq \frac{1}{5}$ થાય.આમ, $\frac{|f(x)|}{x} \leq \frac{1}{5}$, જેનો અર્થ છે કે $|f(x)| \leq \frac{x}{5}$.અહીં $x \in [0, 5]$ હોવાથી, $\frac{x}{5}$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{5}{5} = 1$ છે.તેથી, $[0, 5]$ માં તમામ $x$ માટે $|f(x)| \leq 1$ થાય છે.

Similar Questions

નીચેનામાંથી કયા વિધેય માટે આપેલ અંતરાલ પર રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે?

વિધેય $f(x) = \log_{e} x$ માટે અંતરાલ $[1, 3]$ પર મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) લાગુ પડે તે માટે $c$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $f:[a, b] \rightarrow R$ એ $[a, b]$ માં સતત છે, $(a, b)$ માં વિકલનીય છે અને $f(a)=0=f(b)$ છે. તો

જો $[1, 3]$ પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ એ $c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ માટે રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે,તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module