यदि f(x) = ax^3 + bx^2 + 11x - 6, x in [1, 3] | vedclass

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Question

(A) रोले के प्रमेय के अनुसार,$[1, 3]$ अंतराल में $f(1) = f(3)$ होता है।$a(1)^3 + b(1)^2 + 11(1) - 6 = a(3)^3 + b(3)^2 + 11(3) - 6$$a + b + 5 = 27a + 9

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$1, -6$

Vedclass · Answer

(A) रोले के प्रमेय के अनुसार,$[1, 3]$ अंतराल में $f(1) = f(3)$ होता है।$a(1)^3 + b(1)^2 + 11(1) - 6 = a(3)^3 + b(3)^2 + 11(3) - 6$$a + b + 5 = 27a + 9b + 27$$26a + 8b + 22 = 0 \implies 13a + 4b + 11 = 0 \dots (i)$अब,$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + 11$ है।दिया गया है कि $f'\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0$,अतः $x = 2 + \frac{1}{\sqrt{3}}$ रखने पर:$3a\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 + 2b\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + 11 = 0$$3a\left( 4 + \frac{1}{3} + \frac{4}{\sqrt{3}} \right) + 2b\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + 11 = 0$$13a + 4\sqrt{3}a + 4b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + 11 = 0$समीकरण $(i)$ से $13a + 4b + 11 = 0$ है,इसलिए $4\sqrt{3}a + \frac{2b}{\sqrt{3}} = 0$ होगा।$12a = -2b \implies b = -6a$।$b = -6a$ को $(i)$ में रखने पर:$13a + 4(-6a) + 11 = 0$$-11a = -11 \implies a = 1$।अतः $b = -6(1) = -6$।

यदि $f(x) = ax^3 + bx^2 + 11x - 6, x \in [1, 3]$ रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है और $f'\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ है,तो $a$ और $b$ ज्ञात कीजिए।

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