यदि f(x)=x^3+p x^2+q x अंतराल [0,2] पर परिभाष | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $f(x)=x^3+p x^2+q x$ अंतराल $[0,2]$ पर परिभाषित है।चूँकि $f(0)=f(2)$:$f(0) = 0^3 + p(0)^2 + q(0) = 0$$f(2) = 2^3 + p(2)^2 + q(2) =

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$13$

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(A) दिया गया है कि $f(x)=x^3+p x^2+q x$ अंतराल $[0,2]$ पर परिभाषित है।चूँकि $f(0)=f(2)$:$f(0) = 0^3 + p(0)^2 + q(0) = 0$$f(2) = 2^3 + p(2)^2 + q(2) = 8 + 4p + 2q$$f(0)=f(2)$ रखने पर $8 + 4p + 2q = 0$,जो सरल होकर $2p + q + 4 = 0$ (समीकरण $i$) देता है।अब,अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करते हैं:$f^{\prime}(x) = 3x^2 + 2px + q$दिया गया है $f^{\prime}\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0$:$3\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + 2p\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + q = 0$$3\left(1 + \frac{1}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}}\right) + 2p + \frac{2p}{\sqrt{3}} + q = 0$$3\left(\frac{4}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}}\right) + 2p + \frac{2p}{\sqrt{3}} + q = 0$$4 + 2\sqrt{3} + 2p + \frac{2p}{\sqrt{3}} + q = 0$ (समीकरण $ii$).समीकरण $ii$ से समीकरण $i$ $(2p + q = -4)$ घटाने पर:$(4 + 2\sqrt{3} + 2p + \frac{2p}{\sqrt{3}} + q) - (2p + q) = 0 - (-4)$$4 + 2\sqrt{3} + \frac{2p}{\sqrt{3}} = 4$$2\sqrt{3} + \frac{2p}{\sqrt{3}} = 0$$2\sqrt{3} = -\frac{2p}{\sqrt{3}}$$2p = -2(3) = -6 \Rightarrow p = -3$.$p = -3$ को समीकरण $i$ में रखने पर:$2(-3) + q + 4 = 0$$-6 + q + 4 = 0 \Rightarrow q = 2$.अतः,$p^2 + q^2 = (-3)^2 + (2)^2 = 9 + 4 = 13$.इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

यदि $f(x)=x^3+p x^2+q x$ अंतराल $[0,2]$ पर परिभाषित है,जहाँ $f(0)=f(2)$ और $f^{\prime}\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0$ है,तो $p^2+q^2=$

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