मान लीजिए f: R rightarrow R एक तीन बार अवकलनी | vedclass

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Question

(C) हमें व्यंजक $g(x) = (3 f^{\prime} f^{\prime \prime} + f f^{\prime \prime \prime})(x)$ दिया गया है।ध्यान दें कि $\frac{d}{dx} (f(x) f^{\prime}(x))

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(C) हमें व्यंजक $g(x) = (3 f^{\prime} f^{\prime \prime} + f f^{\prime \prime \prime})(x)$ दिया गया है।ध्यान दें कि $\frac{d}{dx} (f(x) f^{\prime}(x)) = (f^{\prime}(x))^2 + f(x) f^{\prime \prime}(x)$ है।साथ ही,$\frac{d^2}{dx^2} (f(x) f^{\prime}(x)) = \frac{d}{dx} ((f^{\prime}(x))^2 + f(x) f^{\prime \prime}(x)) = 2 f^{\prime}(x) f^{\prime \prime}(x) + f^{\prime}(x) f^{\prime \prime}(x) + f(x) f^{\prime \prime \prime}(x) = 3 f^{\prime}(x) f^{\prime \prime}(x) + f(x) f^{\prime \prime \prime}(x)$ है।अतः,दिया गया व्यंजक $h(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ का द्वितीय अवकलज है,अर्थात $g(x) = h^{\prime \prime}(x)$ है।चूंकि $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=-1, f(3)=2, f(4)=-2$ दिया गया है,मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार $f(x)$ के $(0, 4)$ अंतराल में कम से कम $4$ शून्यक हैं ($x=0$ पर,और $(1,2), (2,3), (3,4)$ के बीच)।मान लीजिए $h(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ है। $h(x)$ के शून्यक $f(x)$ के शून्यक और $f^{\prime}(x)$ के शून्यक हैं।$f(x)$ के शून्यक $x_1=0$,और $x_2 \in (1,2)$,$x_3 \in (2,3)$,$x_4 \in (3,4)$ हैं। अतः $f(x)$ के कम से कम $4$ शून्यक हैं।रोल के प्रमेय के अनुसार,$f^{\prime}(x)$ के $(0, 4)$ में कम से कम $3$ शून्यक हैं ($f(x)$ के शून्यकों के बीच)।अतः,$h(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ के $[0, 4]$ में कम से कम $4+3=7$ शून्यक हैं।रोल के प्रमेय के अनुसार,यदि $h(x)$ के $7$ शून्यक हैं,तो $h^{\prime}(x)$ के कम से कम $6$ शून्यक होंगे,और $h^{\prime \prime}(x)$ के कम से कम $5$ शून्यक होंगे।

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