मान लीजिए कि $f(x)$ और $g(x)$ दो फलन हैं जो सभी $x \ge x_0$ के लिए परिभाषित और अवकलनीय हैं। यदि $f(x_0) = g(x_0)$ और सभी $x > x_0$ के लिए $f'(x) > g'(x)$ है,तो:

द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ पर विचार करें जहाँ $2a + 3b + 6c = 0$ है और $g(x) = a \frac{x^3}{3} + b \frac{x^2}{2} + cx$ लें।
कथन-$1$: द्विघात समीकरण का $(0, 1)$ अंतराल में कम से कम एक मूल है।
कथन-$2$: $[0, 1]$ अंतराल में फलन $g(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू किया जा सकता है।

निम्नलिखित फलनों पर विचार करें:
$I) f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}-x, & x < \frac{1}{2} \\ (\frac{1}{2}-x)^2, & x \geq \frac{1}{2} \end{cases}$
$II) f(x) = |3x-1|$
$III) f(x) = x|x|$
$IV) f(x) = |x|$
तो $[0, 1]$ पर लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ किन फलनों के लिए लागू होता है?

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_0^x {\left( {t + \frac{1}{t}} \right)\,dt}$ और $x \in \left[ {\frac{1}{2}, 3} \right]$ के लिए $g(x) = f'(x)$ है। यदि $P$ वक्र $y = g(x)$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $P$ पर इस वक्र की स्पर्श रेखा,वक्र के बिंदुओं $\left( {\frac{1}{2}, g\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right)$ और $(3, g(3))$ को जोड़ने वाली जीवा के समानांतर है,तो बिंदु $P$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f$ अंतराल $[2,7]$ पर परिभाषित एक बहुपद फलन है। यदि $f(2)=3$ और $(2,7)$ में सभी $x$ के लिए $f^{\prime}(x) \leq 5$ है,तो $x=7$ पर $f$ द्वारा प्राप्त अधिकतम संभावित मान क्या है?

अंतराल $[a, b]$ में फलन $f(x) = x^{2} - 4x - 3$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) को सत्यापित कीजिए,जहाँ $a = 1$ और $b = 4$ है।